Complexidade determinística da comunicação versus número da partição

Fundo:

Considere o modelo comum de complexidade de comunicação de duas partes em que Alice e Bob recebem seqüências de bits de e e precisam calcular alguma função booleana , em que .$n$$x$$y$$f(x,y)$$f:\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n \to \{0,1\}$

Definimos as seguintes quantidades:

$D(f)$ (a complexidade determinística da comunicação de ): O número mínimo de bits que Alice e Bob precisam se comunicar para calcular deterministicamente.$f$$f(x,y)$

$Pn(f)$ (o número da partição de $f$ ): O logaritmo (base 2) do menor número de retângulos monocromáticos em uma partição (ou em uma capa separada) de $\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$ .

Um rectângulo monocromática em $\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$ é um subconjunto $R \times C$ de tal modo que $f$ tem o mesmo valor (isto é, é monocromática) em todos os elementos de $R \times C$ .

Observe também que o número da partição é diferente do "número da partição de protocolo", que foi o assunto desta pergunta .

Veja o texto de Kushilevitz e Nisan para mais informações. Na sua notação, o que eu tenha definido a ser $Pn(f)$ é $\log_2 C^D(f)$ .

Nota : Essas definições são facilmente generalizadas para funções não booleanas $f$ , em que a saída de $f$ é um conjunto maior.

Resultados conhecidos:

Sabe-se que é um limite inferior em D ( f ) , ou seja, para todos (não-booleano booleana ou) f , P n ( f ) ≤ D ( f ) . Na verdade, a maioria diminuir técnicas ligados (ou talvez todos os?) Para D ( f ) , na verdade, limite inferior P n ( f ) . (Alguém pode confirmar que isso é verdade para todas as técnicas de limite inferior?)$Pn(f)$$D(f)$$f$$Pn(f) \leq D(f)$$D(f)$$Pn(f)$

Também é sabido que esse limite é no máximo quadraticamente frouxo (para funções booleanas ou não booleanas), ou seja, . Para resumir, sabemos o seguinte:$D(f) \leq (Pn(f))^2$

$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$

É conjecturado que . (Esse é o problema aberto 2.10 no texto por Kushilevitz e Nisan.) No entanto, até onde eu sei, a separação mais conhecida entre essas duas funções booleanas é apenas por um fator multiplicativo de 2, como mostra "The A conjectura de matriz linear na complexidade da comunicação é falsa ", de Eyal Kushilevitz, Nathan Linial e Rafail Ostrovsky.$Pn(f) = \Theta(D(f))$

Mais precisamente, eles apresentam uma família infinita de funções booleanas , de modo a que D ( f ) ≥ ( 2 - O ( 1 ) ) P n ( f ) .$f$$D(f) \geq (2 - o(1)) Pn(f)$

Questão:

Qual é a separação mais conhecida entre e D ( f ) para funções não-booleanas? Ainda é a separação do fator 2 mencionada acima?$Pn(f)$$D(f)$

Adicionado na v2 : Como não recebo resposta em uma semana, também fico feliz em ouvir respostas parciais, conjecturas, boatos, evidências anedóticas etc.

Esta questão acabou de ser resolvida! Como eu mencionei, sabia-se que

,$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$

mas foi um grande problema aberta para mostrar que ambos os ou que existe uma função para o qual P n ( f ) = O ( D ( f ) ) .$Pn(f) = \Theta(D(f))$$Pn(f) = o(D(f))$

Alguns dias atrás, isso foi resolvido por Mika Göös, Toniann Pitassi e Thomas Watson ( http://eccc.hpi-web.de/report/2015/050/ ). Eles mostram que existe uma função que satisfaz$f$

.$Pn(f) = \tilde{O}((D(f))^{2/3})$

Eles também mostram um resultado óptimo para a versão unilateral da , que eu vou designar por P n 1 ( f ) , onde você só precisa para cobrir os 1-entradas com retângulos. P n 1 ( f ) também satisfaz $Pn(f)$$Pn_1(f)$$Pn_1(f)$

,$Pn_1(f) \leq D(f) \leq (Pn_1(f))^2$

e mostram que esta é a melhor relação possível entre as duas medidas, pois exibem uma função que satisfaz$f$

.$Pn_1(f) = \tilde{O}((D(f))^{1/2})$

Está observar que os limites inferiores de estão intimamente relacionadas com todas as técnicas existentes de limite inferior. Para funções booleanas, isso parece verdadeiro, desde que a conjectura de log-rank seja verdadeira. No entanto, P n ( f ) pode ser exponencialmente maior do que o conjunto de enganar ligado.$Pn(f)$$Pn(f)$

Não está claro para mim o quanto e D ( f ) podem diferir no caso não-booleano.$Pn(f)$$D(f)$

No restante, faço esses comentários mais precisos.

KN (Kushilevitz e Nisan, em seu livro de 1997) descrevem as três técnicas básicas para funções booleanas: tamanho de um conjunto de brincadeiras, tamanho de um retângulo monocromático e classificação da matriz de comunicação.

Primeiro, jogos enganadores. Um conjunto enganar é monocromática: há alguns z ∈ { 0 , 1 } , tal que f ( x , y ) = z para cada ( x , y ) ∈ S . Algumas correções finais são necessárias para levar em conta a outra cor. Esta etapa extra pode ser evitada. Seja f : X × Y → { 0 , 1 } uma função. Um par de elementos distintos ( x 1$S$$z \in \{0,1\}$$f(x,y) = z$$(x,y)\in S$$f \colon X \times Y \to \{0,1\}$ éenganar fracamentepara f , se f ( x 1 , y 1 ) = f ( x 2 , Y 2 ) implica que seja f ( x 1 , y 2 ) ≠ f ( x 1 , y 1 ) ou f $(x_1,y_1),(x_2,y_2) \in X \times Y$$f$$f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2)$$f(x_1,y_2) \ne f(x_1,y_1)$ . Um conjunto S ⊆ X × Y é umconjunto de enganos fracopara f se cada par distinto de elementos de S for enganador de fraqueza. O KN declara implicitamente, após a prova de 1.20, que o tamanho do log de um conjunto de enganos fraco é um limite inferior para a complexidade da comunicação.$f(x_2,y_1) \ne f(x_1,y_1)$$S \subseteq X \times Y$$f$$S$

Um maior conjunto de enganadores fraco seleciona um elemento representativo de cada retângulo monocromático em uma menor tampa do conjunto separado. O tamanho de um maior conjunto de enganos fracos é, portanto, no máximo tão grande quanto (o expoente) do número da partição. Infelizmente, o limite fornecido pelos conjuntos de enganar é geralmente fraco. A prova do KN 1.20 mostra que qualquer função que mapeie cada elemento de um conjunto de enganos fraco S para um retângulo monocromático R s contendo esse elemento é injetiva. No entanto, pode haver muitos retângulos monocromáticos R em uma menor capa disjunta que não aparecem na imagem de S , com todos os elementos de R brincando com alguns, mas não todos, os elementos de$s$$S$$R_s$$R$$S$$R$ , e assim não pode simplesmente ser adicionado ao S . Na verdade Dietzfelbinger, Hromkovič e Schnitger mostrou (DOI:10.1016 / S0304-3975 (96) 00062-X) que para todos suficientemente grande n , pelo menos, 1 / 4 de todas as funções booleanas em n variáveis têm P n ( f ) = n ainda possui conjuntos enganosos (fracos) de tamanho de log O ( log n ) . Portanto, o log do tamanho de um conjunto de enganos maior (fraco) pode ser exponencialmente menor que a complexidade da comunicação.$S$$S$$n$$1/4$$n$$Pn(f) = n$$O(\log n)$

Para classificação, o estabelecimento de uma correspondência estreita entre a classificação da matriz da função e seu número de partição estabeleceria uma forma de conjectura de classificação logarítmica (dependendo da rigidez da correspondência). Por exemplo, se houver uma constante tal que P n ( f ) ≤ a log r k ( f ) para cada função booleana f , então D ( f ) ≤ ( 2 a log r k ( f ) ) $a> 0$$Pn(f) \le a\log rk(f)$$f$$D(f) \le (2a\log rk(f))^2$, e um tipo de conjectura de log-rank para as famílias de funções para as quais finalmente aumenta com | X | + | Y | , com expoente 2 + ϵ para qualquer ϵ > 0 alcançável para suficientemente grande | X | + | Y | . (Lembre-se de que a conjectura de log-rank de Lovász-Saks diz que existe uma constante c > 0 tal que D ( f ) ≤ ( log $rk(f)$$|X|+|Y|$$2+\epsilon$$\epsilon > 0$$|X|+|Y|$$c>0$ para cada função booleana f ; aqui r k ( f ) é a classificação da matriz de comunicação de f sobre os reais.)$D(f) \le (\log rk(f))^c$$f$$rk(f)$$f$

Da mesma forma, se houver apenas um retângulo monocromático bastante grande junto com muitos pequenos, o número da partição fornecerá um limite mais forte do que o tamanho do log de um retângulo monocromático maior. No entanto, a conjectura de log-rank também é equivalente a uma conjectura do tamanho de um maior retângulo monocromático (Nisan e Wigderson 1995, doi: 10.1007 / BF01192527 , Teorema 2). Portanto, o uso de retângulos monocromáticos não é atualmente conhecido como "o mesmo que" usar o número da partição, mas eles estão intimamente relacionados se a conjectura de classificação de log for mantida.

Em resumo, o tamanho do log de um maior conjunto de enganos fraco pode ser exponencialmente menor que o número da partição. Pode haver lacunas entre as outras técnicas de limite inferior e o número da partição, mas se a conjectura de classificação de log for mantida, essas lacunas serão pequenas.

Ao usar noções de tamanho que se estendem ao usual (de cardinalidade), o tamanho de qualquer retângulo monocromático pode ser usado para generalizar conjuntos de enganos e diminuir o limite da complexidade da comunicação (consulte KN 1.24). Não tenho certeza de quão próximo o maior "tamanho" generalizado de qualquer retângulo monocromático deve estar da complexidade da comunicação.

Em contraste com a discussão acima para funções booleanas, para funções não booleanas, a diferença entre e log r k ( f ) pode ser exponencial. KN 2.23 dá um exemplo: seja f a função que retorna o tamanho das interseções dos conjuntos representados pelos dois vetores característicos de entrada. Para esta função, o log-rank é log n . Agora, o conjunto de todos os pares de conjuntos sem interseção possui 3 n elementos. Até onde eu sei, não pode haver retângulos monocromáticos maiores que esse conjunto. Se isso estiver correto, então D ( f ) $D(f)$$\log rk(f)$$f$$\log n$$3^n$ , portanto, para esta função, D ( f ) , P n ( f ) e o tamanho do log de um maior retângulo monocromático estão todos dentro de um fator de mais 2,5 um do outro, embora exponencialmente distantes da classificação do log. Portanto, pequenas separações entre P n ( f ) e D ( f $D(f) \ge Pn(f) \ge (2 - \log 3)n > 0.4n$$D(f)$$Pn(f)$$2.5$$Pn(f)$$D(f)$pode ser possível no caso não-booleano, mas eles não estão relacionados de maneira óbvia ao log-rank da matriz de . Não tenho conhecimento de nenhum trabalho publicado discutindo como essas medidas estão relacionadas no caso não-booleano.$f$

Finalmente, Dietzfelbinger et al. também definiu um limite estendido de conjunto de enganos, generalizando a condição de enganos de pares (subconjuntos "ordem 1") para subconjuntos maiores de elementos monocromáticos; a condição de enganar estendida requer que a submatriz estendida pelos elementos monocromáticos não seja monocromática. Não está claro como isso se comporta à medida que a ordem dos subconjuntos monocromáticos aumenta, pois é necessário dividir o tamanho da enganação estendida estabelecida pela ordem e considerar o maior valor em todas as ordens. No entanto, essa noção acaba sendo um limite inferior próximo a .$Pn(f)$