Quando GI polinomial implica GI colorido polinomial (borda)?

Cruzado do MO .

O isomorfismo do gráfico colorido (aresta) é GI, que preserva as cores (das arestas, se for colorido).

Existem várias reduções usando transformações / dispositivos de GI colorido (borda) em GI. Para GI colorido de borda, o mais simples é substituir a borda colorida por um dispositivo de preservação de GI que codifica a cor (subdividir a borda o suficiente vezes é o caso mais simples). Para GI colorido de vértice, anexe um gadget a um vértice.

Suponha GI é polinomial para alguns classe gráfico . $C$

Q1 Para qual GI polinomial implica GI colorido polinomial (borda)? $C$

Usando uma redução com aparelhos pode fazer os gráficos não membros da . $C$

Por outro lado, certos dispositivos / transformações podem tornar os gráficos membros de alguma outra classe GI polinomial.

Exemplo de redução da cor da aresta . $G \to G'$

Faça um clique de . Bordas coloridas em com e sem bordas com . É a função de coloração que preserva e, para recuperar de basta pegar as bordas coloridas . é clique, cografia, gráfico de permutação e quase certo em muitas outras classes interessantes. Subdividir as arestas número ímpar de vezes (distinto para remove as cores e torna o gráfico bipartido perfeito, preservando o isomorfismo). $V(G)$ $E(G)$ $1$ $0$ $G$ $G$ $G'$ $1$ $G'$ $0,1$ $G'$

Talvez outra abordagem seja pegar o gráfico de linhas de e adicionar vértices pendentes (universais) conectados aos vértices correspondentes a . $G'$ $E(G')$

Q2 Existem gadgets / transformações agradáveis para construções semelhantes?

Pensou em aplanar , escolhendo algum desenho universal da camarilha e substituindo cruzamento de borda de dispositivos planares preservando cores dizer de cores iguais e algo mais para cores distintas. Não sei se isso preserva o isomorfismo. $G'$ $C_4,C_6$

Outra abordagem possível pode ser o automorfismo preservar a coloração ou subdividir todas as arestas de , usar 3 cores para os vértices e tentar reconhecer gráficos auto-complementares por automorfismo trocando e . $K_n$ ${0,1,2}$ $V(G),E(G),E(\overline{G})$ $E(G)$ $E(\overline{G})$

Q3 O grupo automorfismo da subdivisão de tratável para computação? $K_n$

Os pedidos após os poucos termos iniciais são que é A052565 $12 , 24 , 120 , 720 , 5040 , 40320 , 362880$

Dima sugere que isso pode ser fácil para grandes o suficiente e os termos iniciais são exceções. $n$

Q4 Dada a subdivisão colorida de vértice de para e seu grupo automorfismo, onde os vértices de alto grau são coloridos , alguns graus são e outros , qual é a complexidade de encontrar as trocas e automorfismo ? $K_n$ $n > 4$ $0$ $2$ $1$ $2$ $1$ $2$

Foi adicionado o artigo Sobre o reconhecimento de gráficos de Cayley, p. 86 :

Dada uma classe C de gráficos de Cayley e dado um gráfico colorido G de n vértices e m arestas, estamos interessados no problema de verificar se existe um isomorfismo φ preservando as cores de modo que G seja isomórfico de φ a um gráfico em C colorido pelos elementos do seu grupo gerador. Neste artigo, apresentamos um algoritmo de tempo O (m log n) para verificar se G é isomórfico de cor para um gráfico de Cayley.

Isso parece próximo à pergunta, é relevante?

graph-theory graph-isomorphism automorphism joro
fonte

Existe relação com os hipergráficos. A borda colorida (u, v, c) pode ser tratada como hiper-borda e há um hipergrafo de redução no gráfico.

Joro

Respostas:

Q2: um bom exemplo é o gadget de rotulagem de gráfico usado para provar que:

Teorema : IG planar colorido com 3 conexões IG planar com 3 conexões $\leq_T^L$

Veja Thomas Thierauf, Fabian Wagner: o problema do isomorfismo para gráficos planares com 3 conexões está em um espaço de registro inequívoco. Teoria Comput. Syst. 47 (3): 655-673 (2010)

O "gadget de identificação" usado preserva as restrições de 3 conectividade e planaridade.

Marzio De Biasi
fonte

Obrigado. E as outras perguntas?

Joro

@joro: vou pensar no terceiro e quarto trimestres; para Q1, acho que - talvez - seja mais interessante perguntar "Para qual GI polinomial C não implica (ou é desconhecido se isso implica ...) GI colorido polinomial (borda)?" (porque para muitas classes de gráfico para os quais GI é polinomial solúvel tempo, vértice simples / rotulamentos borda não coloque os gráficos de

)

C

$\mathcal{C}$

Marzio De Biasi

Re Q1: se você achar a pergunta interessante, faça-a. Ou talvez edite esta pergunta com o Q1.1 atribuído a si mesmo. Alguns pensamentos enquanto toma cerveja :). O gráfico colorido (borda) aparece trivialmente hipergráfico para mim. O HGI é tão fácil quanto o IG através da redução IIRC. Alguns casos de automorfismos restritos são NP-completos e alguns são polinomiais IIRC.

Joro

Foi adicionado um documento na pergunta que pode ser relevante.

Joro

Resposta parcial, não entendo teoria de grupo suficiente, mas dois artigos parecem dar resultados parciais.

$G \to G'$

$V(G)$ $e \in E(G')$ $1$ $e \in E(G)$ $0$ $G$ $G'$ $1$

$G \cong H \iff G' \cong H'$

$G'$

Este artigo afirma:

$O(n^2 (\log n)^6 )$ $n$

A definição exata de "cor da borda" não está clara para mim.

O documento que prova que a GI circulante é polinomial em uma nota de rodapé na p.1:

Por gráfico, queremos dizer um gráfico comum, um dígrafo ou mesmo um gráfico colorido de borda

Perguntado no MO quais são as restrições para os corantes.

joro
fonte