Alguns problemas difíceis de NP que são exponenciais em gráficos gerais são subexponenciais em gráficos planares porque a largura da árvore é no máximo e eles são exponenciais na largura da árvore.
Basicamente, estou interessado se existem algoritmos subexponenciais para o PLANAR SAT, que é NP-completo.
Seja uma fórmula CNF nas variáveis e a ésima cláusula é .x i i c i
O gráfico de incidência p. 5 de está nos vértices e arestas se ou .ϕ V ( G ) = { x i } ∪ { c i } ( x i , c i ) x i ∈ c i ¬ x i ∈ c i
está em PLANAR SAT se o gráfico de incidência for plano.
Existem algoritmos subexponenciais para o PLANAR SAT em termos de ?
Não excluo a possibilidade de reduzir SAT para PLANAR SAT para tornar isso possível, embora SAT ainda seja exponencial e seja subexponencial por causa do aumento no tamanho.
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Respostas:
Bem, você pode aplicar o teorema do separador planar junto com a programação dinâmica e obter o tempo de execução , em que é o número de vértices no gráfico. A ideia é que você tente todas as atribuições possíveis para os vértices de variáveis no separador e todas as variáveis mencionadas nas cláusulas no separador (supondo que cada cláusula tenha um número constante de variáveis).n2O ( n√) n
Se um nó de cláusula é grande, você precisa ser um pouco mais inteligente - você precisa adivinhar se deve atribuí-lo ao subproblema do lado esquerdo ou direito. Os detalhes de tais coisas tendem a ser confusos e não imediatos, por isso não vou dar mais detalhes. Acho que os artigos originais de Lipton e Tarjan resolveram problemas semelhantes usando idéias semelhantes, se minha memória me servir bem.
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