Existem algoritmos subexponenciais para o PLANAR SAT conhecidos?

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Alguns problemas difíceis de NP que são exponenciais em gráficos gerais são subexponenciais em gráficos planares porque a largura da árvore é no máximo e eles são exponenciais na largura da árvore.4.9|V(G)|

Basicamente, estou interessado se existem algoritmos subexponenciais para o PLANAR SAT, que é NP-completo.

Seja uma fórmula CNF nas variáveis e a ésima cláusula é .x i i c iϕxiici

O gráfico de incidência p. 5 de está nos vértices e arestas se ou .ϕ V ( G ) = { x i } { c i } ( x i , c i ) x ic i ¬ x ic iGϕV(G)={xi}{ci}(xi,ci)xici¬xici

ϕ está em PLANAR SAT se o gráfico de incidência for plano.

Existem algoritmos subexponenciais para o PLANAR SAT em termos de ?ϕ

Não excluo a possibilidade de reduzir SAT para PLANAR SAT para tornar isso possível, embora SAT ainda seja exponencial e seja subexponencial por causa do aumento no tamanho.ϕ

joro
fonte
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Existe uma condição extra na definição de PLANAR SAT, as variáveis ​​devem ser conectadas com um ciclo através delas. O que você descreveu é conhecido como PLANAR * SAT.
domotorp
1
@domotorp Acho que citei corretamente e o artigo afirma que o gráfico é bipartido. Talvez em outros trabalhos o mesmo nome seja usado para outra coisa.
Joro
3
Bem, você pode aplicar o teorema do separador planar junto com a programação dinâmica e obter o tempo de execução , em que é o número de vértices no gráfico. Eu suponho que você quer algo melhor? n2O(n)n
Sariel Har-Peled
2
@ SarielHar-Peled O seu será uma resposta, não precisa de algo melhor (embora melhor seja bem-vindo). Bugs me diferentes fórmulas podem ter o mesmo gráfico - negar um literal.
Joro
3
A redução padrão de SAT para SAT planar mostra que, sob a hipótese de tempo exponencial, é impossível, portanto o algoritmo do comentário de Sariel é ideal até constantes no expoente. (isto é para que domotorp chama PLANAR * SAT embora, mas eu tenho certeza que o limite pode ser mostrado para PLANAT SAT muito inferior)2o(n)
Daniello

Respostas:

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Bem, você pode aplicar o teorema do separador planar junto com a programação dinâmica e obter o tempo de execução , em que é o número de vértices no gráfico. A ideia é que você tente todas as atribuições possíveis para os vértices de variáveis ​​no separador e todas as variáveis ​​mencionadas nas cláusulas no separador (supondo que cada cláusula tenha um número constante de variáveis).n2O(n)n

Se um nó de cláusula é grande, você precisa ser um pouco mais inteligente - você precisa adivinhar se deve atribuí-lo ao subproblema do lado esquerdo ou direito. Os detalhes de tais coisas tendem a ser confusos e não imediatos, por isso não vou dar mais detalhes. Acho que os artigos originais de Lipton e Tarjan resolveram problemas semelhantes usando idéias semelhantes, se minha memória me servir bem.

Sariel Har-Peled
fonte
2
Mais genericamente, é bem conhecido que, se o gráfico de incidência de um sab formulat tem treewidth no máximo , em seguida, pode-se verificar satisfazibilidade em 2 O ( k ) p o l y ( | & Phi; | ) tempo. Gráficos planares com n vértices têm garantia de largura de árvore O ( k2O(k)poly(|ϕ|)ndevido ao teorema do separador planar. Geralmente, os gráficos que excluem qualquer gráfico fixoHtêm uma menor largura de árvoreO(O(n)H, onde a constante depende do tamanho deH. O(n)H
Chandra Chekuri
4
De fato, se a fórmula tem variáveis ​​e cláusulas m , a largura da árvore é no máximo O ( nm(como oposto à mais brutoS(O(n)ligado). OS(O(n+m)o limite superior segue o fato de que as variáveis ​​são uma cobertura de vértice do gráfico de incidência e gráficos planares com uma cobertura de vértice de tamanhontêm largura de árvoreO(O(n)n. O(n)
Daniello 27/03
Este também é o exercício 41 dos algoritmos exatos de Woeginger para 2003, para problemas difíceis com NP: uma pesquisa . dx.doi.org/10.1007/3-540-36478-1_17
András Salamon