Seja fixo e G seja um gráfico (conectado). Se não me engano, segue-se do trabalho de Bodlaender [1, Teorema 3.11] que, se a largura de árvore de G é aproximadamente pelo menos 2 k 3 , G contém uma estrela K 1 , k como menor.
Podemos reduzir o termo ? Ou seja, diz treewidth pelo menos k já implica a existência de um K 1 , k -minor? Existe uma prova em algum lugar?
Respostas:
É verdade que cada grafo sem K 1 , k menor tem treewidth no máximo k - 1 . Provamos isso abaixo, primeiro algumas definições:G K1,k k−1
Deixe- ser o treewidth de L e ω ( G ) ser o tamanho máximo de um bando em L . Um gráfico H é uma triangulação de G se G é um subgrafo de H e H é cordal (isto é, não possui ciclos induzidos em pelo menos 4 vértices). Uma triangulação H de L é uma triangulação mínima, se não subgráfico adequada de H é também uma triangulação de L . Um subconjunto X de vértices de Gtw(G) G ω(G) G H G G H H 4 H G H G X G H G X H
A fórmula acima implica que para provar que é suficiente provar que todas as possíveis panelinhas máximas de têm tamanho no máximo . Agora provamos isso. Seja uma potencial camarilha máxima de e suponha que .tw(G)≤k−1 G k X G |X|≥k+1
Usaremos a seguinte caracterização de potenciais cliques máximos: um conjunto de vértices é um clique máximo potencial em se, e somente se, para cada par , de vértices não adjacentes (distintos) em houver um caminho a partir de para em com todos os seus vértices internos fora de . Essa caracterização pode ser encontrada no artigo Largura da árvore e preenchimento mínimo: agrupando os separadores mínimos de Bouchitte e Todinca.X G u v X Pu,v u v G X
Com essa caracterização é fácil derivar uma menor de . Vamos . Para cada vértice , quer é uma aresta de ou há um caminho a partir de para , com todos os vértices internos fora . Para todos os que não são adjacentes a contratam todos os vértices internos de em . Terminamos com um menor de no qual é adjacente a todo o , eK1,k X u∈X v∈X∖{u} uv G Pu,v u v X v∈X u Pu,v u G u X |X|≥k+1 . Portanto, o grau de nesse menor é pelo menos , completando a prova.u k
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