Contar o número de combinações perfeitas em um gráfico bipartido é imediatamente reduzido para calcular o permanente. Como encontrar uma correspondência perfeita em um gráfico não bipartido está no NP, existe alguma redução de gráficos não bipartidos para o permanente, mas isso pode envolver uma explosão polinomial desagradável usando a redução de Cook para SAT e o teorema de Valiant para reduzir ao permanente.
Uma redução eficiente e natural de um gráfico não bipartido G para uma matriz A = f ( G ) onde perm ( A ) = Φ ( G ) seria útil para uma implementação real para contar combinações perfeitas usando os existentes, altamente otimizados bibliotecas que calculam o permanente.
Atualizado: adicionei uma recompensa por uma resposta, incluindo uma função computável de forma eficiente para levar um gráfico arbitrário a um gráfico bipartido H com o mesmo número de combinações perfeitas e não mais que vértices O ( n 2 ) .
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Respostas:
Eu diria que uma redução "simples" da correspondência bipartida é altamente improvável. Primeiro, daria um algoritmo para encontrar uma correspondência perfeita em um gráfico geral usando o método húngaro. Portanto, a redução deve conter toda a complexidade do algoritmo de flor de Edmond. Em segundo lugar, ele fornecerá um LP compacto para o polítopo perfeito e, portanto, a redução não deve ser simétrica (que é descartada por um resultado de Yannakakis) e inerentemente muito complicada.
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Obviamente, isso é um comentário e não uma resposta, mas ainda não tenho nenhum ponto de reputação aqui, desculpe-me por isso.
Para gráficos cúbicos sem ponte não-bipartidos, existem exponencialmente muitas combinações perfeitas, como Lovàsz e Plummer conjeturaram nos anos 70. O papel está em preparação. Isso pode ser muito relevante para a sua pergunta, ou talvez nem seja.
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