Ainda está aberto para determinar a complexidade da computação da largura de árvore dos gráficos planares?

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Para uma constante , pode-se determinar em tempo linear, dado um gráfico de entrada , se sua largura de árvore é . No entanto, quando e são dados como entrada, o problema é NP-difícil. ( Fonte ). G k k GkNGkkG

No entanto, quando o gráfico de entrada é plano , muito menos parece ser conhecido sobre a complexidade. Aparentemente, o problema foi aberto em 2010, uma reivindicação que também apareceu nesta pesquisa em 2007 e na página da Wikipedia para decomposições de ramos . Por outro lado, o problema é reivindicado NP-hard (sem prova de referência) em uma versão anterior da pesquisa mencionada anteriormente, mas presumo que seja um erro.

Ainda está aberto para determinar a complexidade do problema, dado e um gráfico planar , de determinação de com largura da árvore ? Se for, isso foi reivindicado em um artigo recente? Existem resultados parciais conhecidos? Se não for, quem resolveu? G G kkNGGk

a3nm
fonte
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Pergunta interessante, felicidades por reiniciar a pesquisa. Para poupar meus 2 centavos, acredito que a fonte original para a prova de tempo linear é Bodlaender, mas o fator constante oculto pela notação de complexidade assintótica é enorme. Talvez uma cisão / extensão interessante para sua pergunta seja se a restrição planar permite um fator constante mais prático nesse contexto?
Fasermaler
2
Eu acho que é um "problema famoso e antigo", portanto, se você não encontrar um trabalho, provavelmente ainda é um problema em aberto. Outras "evidências": Palestra do curso Algoritmos de Gráficos, Aplicações e Implementações (2015), Palestra do curso Gráficos e Algoritmos: Tópicos Avançados (2014), Enciclopédia de algoritmos (2008).
Marzio De Biasi
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@Sariel: Pode ser aproximado dentro de um fator constante (3/2) usando o fato de que ele e a largura da ramificação estão dentro de uma constante uma da outra e que a largura da ramificação planar pode ser calculada em tempo polinomial. Também pode ser aproximado no log para todos os gráficos usando Leighton – Rao; veja kintali.wordpress.com/2010/01/28/approximating-treewidth
David Eppstein
2
@Fasermaler, o primeiro passo no algoritmo de Bodlaender (e algoritmos anteriores que eram FPT, mas não de tempo linear) é calcular uma decomposição aproximada de árvore na qual se pode usar a programação dinâmica para encontrar a decomposição ideal. Quanto mais apertada a aproximação, mais rápido o segundo passo. Portanto, o fato de aproximações mais apertadas à largura da árvore planar poderem ser encontradas usando a largura da ramificação parece levar a uma melhor dependência do parâmetro (às custas de voltar ao polinômio a partir da linear). Mas não conheço documentos que analisem isso com cuidado.
David Eppstein
4
Em relação ao problema de aproximação da largura da árvore. Uma aproximação para encontrar separadores de nós esparsos / balanceados dará uma aproximação O ( α ) para a largura da árvore. Assim, em gráficos gerais, obteremos O ( αO(α)via ARV / Feige-Lee-Hajiaghayi eO(1)em famílias planares e menores fechadas por menores. Para gráficos gerais, pode-se obterO(O(logn)O(1)ondeké a largura da árvore. O(logk)k
Chandra Chekuri

Respostas:

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Até onde eu sei, a completude NP da computação ainda está aberta. A referência mais recente que conheço é uma pesquisa realizada pela Bodlaender em 2012, chamada `` Rastreabilidade de parâmetros fixos da largura de árvore e largura de caminho '', que apareceu no festschrift no 65º aniversário de Mike Fellows. O problema está listado na conclusão da pesquisa.

Bart Jansen
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Obrigado! (E obrigado também a @MarzioDeBiasi por sugerir outras referências.) Por curiosidade, alguém também sabe quando o problema foi apresentado pela primeira vez?
a3nm