Os transdutores considerados aqui são aqueles que a Wikipedia chama de transdutores de estado finito . O comportamento de um transdutor , isto é, a relação que ele calcula, é escrito : uma palavra é uma saída para iff .[ T ] y x x [ T ] y
Pergunta: O seguinte problema é decidível:
Dado: Um transdutor e uma linguagem regular Decida: Mantém que , uma palavra, implica que?∀ x ∈ L ∀ y x [ T ] y | y | ≤ | x |
Estou à procura de análises não triviais / subcasas solucionáveis, redução de problemas conhecidos e / ou referências relacionadas. (agora nem tenho certeza se é decidível em geral ...?)
Motivação: esse problema foi inspirado pela análise / investigação do teorema automatizado de comprovação de problemas da teoria dos números em geral e por um estudo altamente estudado, a conjectura de Collatz , em particular.
Respostas:
O outro colaborador excluiu sua resposta, talvez para me permitir estender meu comentário acima, então aqui está.
Seja um transdutor possivelmente não determinístico e L seja uma linguagem comum. Modifique T em um transdutor T ' que verifique se sua entrada está em L (alterando, por exemplo, o estado definido no produto cartesiano dos conjuntos de estados T e L e modificando a função de transição para que a parte L dos estados é atualizado corretamente, mantendo o comportamento de T. )T eu T T′ eu T eu eu T
Um ramo de é uma sequência ρT′ de tal modo que ρ 1 ρ 2 ⋯ ρ n + 1 é um caminho aceitar simples em T ' , e cada um C i é um componente fortemente conectado de T ′ cujos estados incluem o destino de ρ i (e a origem de ρ iρ1 1C1 1ρ2C2⋯ρnCnρn + 1 ρ1 1ρ2⋯ ρn + 1 T′ CEu T′ ρEu ) A filial émansase:ρi + 1
O comprimento de entrada do caminho é maior do que ou igual ao seu comprimento de saída;ρ1 1ρ2⋯ ρn + 1
Para qualquer , qualquer ciclo simples em C i , o comprimento de entrada do ciclo é maior ou igual ao seu comprimento de saída.Eu CEu
Fato: Para qualquer x , y , x [ T ′ ] y implica em | y | ≤ | x | ] se todos os ramos são mansos.[ x , y x [ T′] y | y| ≤ | x | ]
A prova é bastante imediata. Sendo a última propriedade decidível (como o número de ramificações é limitado e o número de ciclos simples também), isso mostra que o problema da questão é decidível.
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