Enumerando tipos topológicos de um DAG marcado com vértice

Deixe ser um gráfico acíclico dirigido , e deixar λ ser uma função rotulagem mapeamento de cada vértice v ∈ V para uma etiqueta λ ( v ) em algum alfabeto finito L . Escrevendo n : = | V | , um tipo topológico de G é uma bijeção σ de { 1 , … , n } a V (ou seja, uma ordenação de$G = (V, E)$$\lambda$$v \in V$$\lambda(v)$$L$$n := |V|$$G$$\sigma$$\{1, \ldots, n\}$$V$ em uma sequência) de modo que sempre que ( v , v ′ ) ∈ E então σ - 1 ( v ) < σ - 1 ( v ′ ) (ou seja, se houver uma aresta de v a v ′ , v ocorrerá antes de v ′ na sequência). Orótulode σ é a palavra σ ( 1 ) ⋯ σ ( n ) em$V$$(v, v') \in E$$\sigma^{-1}(v) < \sigma^{-1}(v')$$v$$v'$$v$$v'$$\sigma$$\sigma(1) \cdots \sigma(n)$ .$L^n$

Dado , eu gostaria de enumerar os rótulos dos tipos topológicos de G com eficiência. Qual é a complexidade de enumerar os rótulos de tipos topológicos? É claro que, como pode haver muitos exponencialmente, quero estudar a complexidade em função do tamanho da saída ou em termos de atraso. Em particular, a enumeração pode ser realizada com atraso polinomial? (ou mesmo atraso constante?)$(G, \lambda)$$G$

No caso em que todos os vértices de carregam rótulos distintos (ou, equivalentemente, os vértices são { 1 , … , n } rotulados por eles mesmos), eu sei que os rótulos podem ser enumerados em tempo amortizado constante, por esse resultado ao enumerar extensões lineares de posets (que é o mesmo que enumerar tipos topológicos de um DAG). No entanto, quando os vértices são rotulados arbitrariamente, pode ser que um número muito grande de tipos topológicos possua o mesmo rótulo, portanto, você não pode apenas enumerar tipos topológicos de G e calcular seus rótulos para obter uma maneira eficiente de enumerá-los. . Na terminologia de poset, o DAG rotulado ( G $G$$\{1, \ldots, n\}$$G$ pode ser visto como umposetrotuladoe não foi possível encontrar resultados de enumeração sobre eles.$(G, \lambda)$

Já conheço a dureza de alguns problemas relacionados, graças às respostas para minhas outras perguntas aqui. Em particular, eu sei que encontrar o rótulo lexicograficamente mínimo é difícil para o NP . Eu também sei que decidir se um determinado rótulo pode ser alcançado por algum tipo de topologia é NP-difícil (a partir da dureza deste problema : dada uma sequência de rótulo candidata , solicite um tipo topológico de G onde cada vértice deve ocorrer em uma posição onde o rótulo correto ocorre em $s$$G$$s$) No entanto, acho que nada disso implica em dureza para enumeração, pois você pode enumerar em qualquer ordem que desejar (não necessariamente lexicográfica), e um algoritmo de enumeração não pode ser usado para decidir com eficiência se um rótulo é viável, mesmo com atraso constante (pois pode haver exponencialmente muitas seqüências para enumerar primeiro).

$s$$s$$v$$V$$i \in \{1, \ldots, n\}$$s_i \neq \lambda(v)$$v$$i$$G$$v$$i$, o que pode ser feito claramente em PTIME. Mas, como você produz cada vez mais rótulos, não tenho certeza de como generalizar essa abordagem.

$v$$u$$u$

$v_1,v_2,...,v_k$$u$$v_i$$v_j$$u$

$v_1,...,v_k$$O(n^2)$$\tilde{O}(n)$