Distância estatística entre moeda uniforme e polarizada

Deixe $U$ ser a distribuição uniforme ao longo de $n$ bits e deixar $D$ ser a distribuição ao longo $n$ bits onde os bits são independentes e cada bit é $1$ com probabilidade $1/2-\epsilon$ . É verdade que a distância estatística entre $D$ e $U$ é $\Omega(\epsilon \sqrt{n})$, quando$n \le 1/\epsilon^2$?

$x_1,\dots, x_n$$U$$D$$\Pr_U\left(\sum x_i \geq t\right) - \Pr_D\left(\sum x_i \geq t\right)$$t$$t = n/2 + \sqrt{n}$

Observe que para alguma constante absoluta . Se , a distância estatística é pelo menos , e estamos prontos. Portanto, assumimos abaixo disso .$\Pr_U\left(\sum x_i \geq t\right) \geq c_1$$c_1 > 0$$\Pr_D\left(\sum x_i \geq t\right) \leq c_1/2$$c_1/2$$\Pr_D\left(\sum x_i \geq t\right) \geq c_1/2$

Seja para as variáveis ​​aleatórias iid Bernoulli com . Nosso objetivo é provar que . Pelo teorema do valor médio, para alguns . Agora, provaremos que ; isso implica que a distância estatística desejada é pelo menos , conforme necessário.$f(s) = \Pr\left(\sum x_i \geq t\right)$$x_1,\dots, x_n$$\Pr(x_i = 1) = 1/2-s$$f(0) - f(\varepsilon) = \Omega(\varepsilon \sqrt{n})$

$$f(0) - f(\varepsilon) = -\varepsilon f'(\xi),$$ $\xi \in (0, \varepsilon)$$-f'(\xi) \geq \Omega(\sqrt{n})$$\Omega(\sqrt{n} \varepsilon)$

Escreva, e Observe que Portanto,

$$f(\xi) = \sum_{k\geq t} \binom{n}{k} \left(\frac12 - \xi\right)^k \left(\frac12+\xi\right)^{n-k},$$ $$\begin{align} f'(\xi) &= \sum_{k\geq t} \binom{n}{k} \left(-k \left(\frac12 - \xi\right)^{k-1} \left(\frac12+\xi\right)^{n-k} + (n-k) \left(\frac12 - \xi\right)^{k} \left(\frac12+\xi\right)^{n-k-1}\right) \\ &= -\sum_{k\geq t} \binom{n}{k} \left(\frac12 - \xi\right)^{k} \left(\frac12+\xi\right)^{n-k}\frac{k/2 + k\xi - (n-k)/2 + (n-k)\xi}{(1/2 - \xi)(1/2 +\xi)}. \end{align}$$ $$\frac{k/2 + k\xi - (n-k)/2 + (n-k)\xi}{\left(1/2 - \xi\right)\left(1/2 +\xi\right)} = \frac{(2k-n)/2 + n\xi}{(1/2 - \xi)(1/2 +\xi)} \geq 2(2t - n) = 4\sqrt{n}.$$ $$\begin{align}-f'(\xi) &\geq 4\sqrt{n} \sum_{k\geq t} \binom{n}{k} \left(\frac12 - \xi\right)^{k} \left(\frac12+\xi\right)^{n-k} \\&= 4\sqrt{n} f(\xi) \geq 4\sqrt{n} f(\varepsilon) \geq 4\sqrt{n}\cdot (c_1/2).\end{align}$$ Aqui, usamos a suposição de que . Mostramos que .$f(\varepsilon) = \Pr_D(x_1+\dots+x_n \geq t) \geq c_1/2$$-f'(\xi) = \Omega(\sqrt{n})$

Uma prova um pouco mais elementar e um pouco mais confusa (ou pelo menos me parece).

Por conveniência, escreva , com por suposição.$\varepsilon = \frac{\gamma}{\sqrt{n}}$$\gamma\in [0,1)$

Nós explicitamente limitamos a expressão : $\operatorname{d}_{\rm TV}{(P,U)}$

$$\begin{align*} 2\operatorname{d}_{\rm TV}{(P,U)} &= \sum_{x\in\{0,1\}^n} \left\lvert{ \left( \frac{1}{2} + \frac{\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{\lvert{x}\rvert}\left( \frac{1}{2} - \frac{\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{n-\lvert{x}\rvert} - \frac{1}{2^n} }\right\rvert \\ &= \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\left\lvert{ \left( 1 + \frac{2\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{k}\left( 1 - \frac{2\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{n-k} - 1 }\right\rvert \\ &\geq \frac{1}{2^n}\sum_{k=\frac{n}{2}+\sqrt{n}}^{\frac{n}{2}+2\sqrt{n}} \binom{n}{k}\left\lvert{ \left( 1 + \frac{2\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{k}\left( 1 - \frac{2\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{n-k} - 1 }\right\rvert \\ &\geq \frac{C}{\sqrt{n}}\sum_{k=\frac{n}{2}+\sqrt{n}}^{\frac{n}{2}+2\sqrt{n}} \left\lvert{ \left( 1 + \frac{2\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{k}\left( 1 - \frac{2\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{n-k} - 1 } \right\rvert \end{align*}$$ onde é uma constante absoluta. Abaixamos cada limite de soma separadamente: fixando e escrevendo , para que cada soma seja menor delimitada por uma quantidade que converja (quando ) para$C>0$$k$$\ell = k-\frac{n}{2} \in [\sqrt{n},2\sqrt{n}]$ $$\begin{align*} \left( 1 + \frac{2\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{k}\left( 1 - \frac{2\gamma }{\sqrt{n}} \right)^{n-k} &= \left( 1 - \frac{4\gamma ^2}{n} \right)^{n/2}\left( \frac{1 + \frac{2\gamma }{\sqrt{n}}}{1 - \frac{2\gamma }{\sqrt{n}}}\right)^\ell \\ &\geq \left( 1 - \frac{4\gamma ^2}{n} \right)^{n/2}\left( \frac{1 + \frac{2\gamma }{\sqrt{n}}}{1 - \frac{2\gamma }{\sqrt{n}}}\right)^{\sqrt{n}} \xrightarrow[n\to\infty]{} e^{4\gamma -2\gamma ^2} \end{align*}$$ $n\to \infty$$e^{4\gamma -2\gamma ^2}-1 > 4\gamma -2\gamma ^2 > 2\gamma$ ; implicando que cada um é . Resumindo, isso gera conforme reivindicado.$\Omega(\gamma )$ $$\begin{align*} 2\operatorname{d}_{\rm TV}{(P,U)} &\geq \frac{C}{\sqrt{n}}\sum_{k=\frac{n}{2}+\sqrt{n}}^{\frac{n}{2}+2\sqrt{n}} \Omega(\gamma ) = \Omega(\gamma) = \Omega(\varepsilon\sqrt{n}) \end{align*}$$