Minha pergunta é:
Existe algo no meio? Por exemplo, suponha que meu espaço fosse na verdade uma região delimitada do avião extrudado até o infinito na direção z. (o que geralmente é chamado de 2,5 dimensões). Os resultados bidimensionais se aplicam ou os tridimensionais?
Isso surgiu nas discussões, e um argumento heurístico dizendo que se comporta bidimensionalmente é que, como a região finita do plano será coberta eventualmente, a única parte não trivial da caminhada é o raio unidimensional ao longo da direção z, e assim retornar para a origem vai acontecer.
Existem outras formas que interpolam entre o caso bidimensional e o tridimensional?
Atualização (extraída dos comentários): uma pergunta relacionada foi feita no MO - um breve resumo é que, se a caminhada é uniforme (2 + ϵ) dimensional, o retorno incerto segue vagamente de uma série divergente. No entanto, a pergunta acima é um pouco diferente da IMO, pois estou perguntando sobre outros tipos de formas que podem admitir certo retorno.
fonte
Respostas:
A probabilidade em árvores e redes de Peres e Lyons menciona isso no capítulo 2 (página 50):
fonte
Uma caminhada aleatória 3D em um espaço 3x3x3 (como o cubo de um rubik) tem uma probabilidade menor que uma de retornar à origem, se a caminhada começar do lado de fora; mas o espaço de 2x2x2 é um, assim como o espaço de 3x3x3 com a origem no centro. Portanto, parece que existem algumas formas intermediárias, mas talvez não muitas.
fonte