Dicotomia dos espectros de gráficos direcionados

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Comparado aos espectros de gráficos não direcionados, que correspondem a matrizes simétricas, o espectro de gráficos direcionados não é muito conhecido:

Sabe-se que um gráfico direcionado possui uma matriz de adjacência cujos valores próprios são binários se for a-cíclico. Isto segue classificando os vértices em componentes fortemente conectados: isso corrige uma enumeração dos vértices modo que o Laplaciano permutado de acordo com essa ordem seja triangular superior com entradas .G=(V,E)A(G){0,1}Gv1,..,vn0/1

Mas o que se sabe se é o outro extremo extremo - isto é, é um gráfico fortemente conectado em vértices - significa que existe um caminho direcionado entre qualquer par de vértices.GGn

Geralmente, seria necessário calcular o polinômio característico de e calcular suas raízes. Apesar de ser uma matriz , isso parece uma tarefa assustadora. Em particular, as raízes desse polinômio são em geral números complexos.A(G)A(G){0,1}

O teorema de Perron-Frobenius implica que pelo menos o autovalor superior é real e simples, mas não revela informações sobre o restante dos autovalores.

No entanto, e se estivermos interessados ​​apenas em limites muito fracos da seguinte forma:

G n A G λ i m ( λ ) 1 / p o l y ( n )Conjecture: Dichotomy of eigenvalues : Seja um gráfico direcionado em vértices. Então, todos os autovalores de são reais ou existe pelo menos um autovalor tal que .GnAGλim(λ)1/poly(n)

Esses limites seguem trivialmente a partir de teoremas conhecidos? Como alternativa, um gráfico direcionado pode ter um valor próprio com um componente imaginário exponencialmente pequeno?

Lior Eldar
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Um gráfico essencialmente não direcionado, ou seja, cada aresta aparece nas duas direções, terá um Laplaciano simétrico e todos os autovalores serão reais. Por que isso não é um contra-exemplo para a sua conjectura? Também o que você chama de "fortemente regular" para mim parece "fortemente conectado". Existe alguma diferença?
Sasho Nikolov 05/10
Desculpe - corrigido o erro de digitação na conjectura. O gráfico fortemente regular não é direcionado - existe um PATH direcionado entre cada dois vértices, não um EDGE direcionado.
Lior Eldar 5/10
Eu não entendo sua explicação. Uma aresta não é um caminho de comprimento 1? Por que um gráfico que contém todas as arestas nas duas direções é fortemente regular? Você precisa que o gráfico não tenha ciclos de comprimento 2?
Sasho Nikolov
Ah - entendi - corrigi a conjectura para refletir seu exemplo. Quero considerar apenas gráficos direcionados fortemente conectados que não são essencialmente "não direcionados". Obrigado.
Lior Eldar 10/10
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Um gráfico direcionado pode ter um autovalor com um componente imaginário exponencialmente pequeno? Tenho certeza que sim. No entanto, isso não exclui a existência de outro valor próprio com componente imaginário polinomialmente pequeno, portanto não vejo como ele se relaciona com a conjectura. Tem certeza de que não misturou os quantificadores existencial e universal?
Emil Jerabek

Respostas:

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A resposta para “alternativamente, um gráfico direcionado pode ter um autovalor com um componente imaginário exponencialmente pequeno” é SIM (embora eu não entenda o que é “alternativo” nessa afirmação, pois de modo algum refuta a conjectura).

fZ[x]GfO(deg(f)+f1)f tão prontamente encontrado quanto eu esperava, então decidi escrever como uma resposta adequada para o registro.

Vários exemplos de polinômios com separação radicular exponencialmente pequena são listados por Schönhage [1], em particular a família de polinômios atribuída a Mignotte [ 2] (que não posso verificar porque não tenho acesso a ele no momento). Agora, esses polinômios têm um par de raízes reais próximo de na distância , enquanto que precisamos de um par de raízes complexas . No entanto, isso é facilmente conseguido modificando um pouco o polinômio: seja Claramente, esse polinômio não tem raiz real positiva (e nenhuma raiz real negativa, se1 / c < 2 / c 1 + n / 2 f ( x ) = x n + ( 2 x - 1 ) 2 = x n + 4 x 2 - 4 x + 1. n 1 / 2 z ± = 1

xn2(cx1)2(n3,c2)
1/c<2/c1+n/2
f(x)=xn+(2x1)2=xn+4x24x+1.
né par). Além disso, é fácil mostrar que ele ainda tem um par de raízes (necessariamente não reais) em distância exponencialmente pequena a ; se eu não estraguei o cálculo, essas raízes são aproximadamente Agora, pode ser escrito como o determinante, por exemplo, da matriz e, portanto, como o polinômio característico da matriz de adjacência do gráfico direcionado ponderado em vértices1/2f(x)n×n(x-1
z±=12±i21n2+O(n2n).
f(x)n×nG0n{0,,n-1}ii+11i=0,,n-2n-10-1n-114n-12-4G0fz±
(x1x1x1x1144x)
G0n{0,,n1}ii+11i=0,,n2 ; de peso ; de peso ; e de peso . Os autovalores de são, portanto, exatamente as raízes de , incluindo .n101n114n124G0fz±

Finalmente, os autovalores de são incluídos entre os autovalores do gráfico direcionado não ponderado nos vértices com arestas e para ; e para ; , ; e , , , paraG 1 2 n + 6 0 + , 0 - , , ( n - 2 ) + , ( n - 2 ) - , ( n - 1 ) 0 + , , ( n - 1 ) 3 + , ( n - 1 ) 0 - , , ( n -G0G12n+6

0+,0,,(n2)+,(n2),(n1)+0,,(n1)+3,(n1)0,,(n1)3
i+(i+1)+i(i+1)i=0,,n3(n2)+(n1)+j(n2)(n1)jj=0,,3(n1)+00(n1)00+(n1)+j1+(n1)+j2(n1)j1j=0,,3(n1)j2+j=0,,3 .

Referências:

[1] A. Schönhage, exemplos de separação polinomial de raízes , Journal of Symbolic Computation 41 (2006), n. 10, pp. 1080-1090, doi: 10.1016 / j.jsc.2006.06.003 .

[2] M. Mignotte, Alguns limites úteis , em: Buchberger, Collins, Loos (eds.), Álgebra de Computadores: Computação Simbólica e Algébrica, 2ª ed., Springer-Verlag, 1983, pp. 259–263, doi: 10.1007 / 978-3-7091-7551-4_16 .

Emil Jeřábek
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Além disso, está fortemente conectado, se for o caso. G1
Emil Jerabek
Obrigado. Isso é muito informativo. Embora este não seja estritamente um gráfico direcionado, mas um gráfico ponderado com pesos arbitrários. Portanto, responde a uma generalização do exposto, correto? Certamente, é fácil produzir gráficos com autovalores arbitrariamente pequenos se você permitir pesos arbitrários (digamos, um único vértice com um auto-loop de peso 2 ^ {- n}), mas a conjectura tenta capturar se é possível obter autovalores exponencialmente pequenos mesmo com elementos {0,1}. Ainda assim, acho que mostrar isso com O (1) pesos se qualifica como progresso.
Lior Eldar 27/10
Você perdeu o ponto. não é um gráfico ponderado. É um gráfico direcionado perfeitamente normal. G1
Emil Jerabek
Qual é a maneira mais fácil de garantir que o espectro de esteja contido no de ? G 0G1G0
Lior Eldar
Eu não acho que isso seja razoavelmente possível. O polinômio característico sempre tem raízes com multiplicidade; portanto, em circunstâncias normais, aumentar o gráfico cria novos valores próprios. Não consigo imaginar uma transformação de preservação de valores próprios em gráficos não ponderados que deixaria o número de vértices igual ou tornaria o caractere poli do novo gráfico uma potência do caractere original. n
Emil Jeřábek 27/10
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Sinto que os limites dependerão fortemente da estrutura de conectividade específica do gráfico.

Um exemplo seria um ciclo de um modo de comprimento . Com a ordem correta, não é difícil ver que , então os autovalores são todas as -ésimas raízes da unidade, ou seja, com saindo de a .A ( G ) N - I = 0 N e 2 π i n / N n 0 N - 1NA(G)NI=0Ne2πin/Nn0N1

Para ainda , você está garantido alguns autovalores puramente imaginários e .i - iNii

Agora, por outro lado, fui para Wolframalpha e liguei o gráfico completo do tamanho 4, depois removi uma única aresta. O gráfico resultante possui autovalores puramente reais (apesar de não ter uma matriz de adjacência simétrica; sim, isso pode acontecer). O que me diz que não há uma declaração geral.

Lagerbaer
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Obrigado. Este é um exemplo importante. Na verdade, parece que mesmo um gráfico não simétrico muito mais esparso em 4 vértices tem um espectro real: considere os vértices v1, v2, v3, v4: tenham arestas bidirecionais entre vi e v_ {i + 1} para e uma única borda direcionada de a . Talvez seja então que, se você tiver um subgráfico cujo gráfico direcionado induzido é essencialmente não direcionado, no contexto de autovalores você poderá "contrair" esse subgráfico. De qualquer forma, modifiquei a conjectura para conter este exemplo. v 4 v 1i{1,2,3}v4v1
Lior Eldar 18/10