Comparado aos espectros de gráficos não direcionados, que correspondem a matrizes simétricas, o espectro de gráficos direcionados não é muito conhecido:
Sabe-se que um gráfico direcionado possui uma matriz de adjacência cujos valores próprios são binários se for a-cíclico. Isto segue classificando os vértices em componentes fortemente conectados: isso corrige uma enumeração dos vértices modo que o Laplaciano permutado de acordo com essa ordem seja triangular superior com entradas .
Mas o que se sabe se é o outro extremo extremo - isto é, é um gráfico fortemente conectado em vértices - significa que existe um caminho direcionado entre qualquer par de vértices.
Geralmente, seria necessário calcular o polinômio característico de e calcular suas raízes. Apesar de ser uma matriz , isso parece uma tarefa assustadora. Em particular, as raízes desse polinômio são em geral números complexos.
O teorema de Perron-Frobenius implica que pelo menos o autovalor superior é real e simples, mas não revela informações sobre o restante dos autovalores.
No entanto, e se estivermos interessados apenas em limites muito fracos da seguinte forma:
G n A G λ i m ( λ ) ≥ 1 / p o l y ( n ) : Seja um gráfico direcionado em vértices. Então, todos os autovalores de são reais ou existe pelo menos um autovalor tal que .
Esses limites seguem trivialmente a partir de teoremas conhecidos? Como alternativa, um gráfico direcionado pode ter um valor próprio com um componente imaginário exponencialmente pequeno?
Respostas:
A resposta para “alternativamente, um gráfico direcionado pode ter um autovalor com um componente imaginário exponencialmente pequeno” é SIM (embora eu não entenda o que é “alternativo” nessa afirmação, pois de modo algum refuta a conjectura).
Vários exemplos de polinômios com separação radicular exponencialmente pequena são listados por Schönhage [1], em particular a família de polinômios atribuída a Mignotte [ 2] (que não posso verificar porque não tenho acesso a ele no momento). Agora, esses polinômios têm um par de raízes reais próximo de na distância , enquanto que precisamos de um par de raízes complexas . No entanto, isso é facilmente conseguido modificando um pouco o polinômio: seja Claramente, esse polinômio não tem raiz real positiva (e nenhuma raiz real negativa, se1 / c < 2 / c 1 + n / 2 f ( x ) = x n + ( 2 x - 1 ) 2 = x n + 4 x 2 - 4 x + 1. n 1 / 2 z ± = 1
Finalmente, os autovalores de são incluídos entre os autovalores do gráfico direcionado não ponderado nos vértices com arestas e para ; e para ; , ; e , , , paraG 1 2 n + 6 0 + , 0 - , … , ( n - 2 ) + , ( n - 2 ) - , ( n - 1 ) 0 + , … , ( n - 1 ) 3 + , ( n - 1 ) 0 - , … , ( n -G0 G1 2n+6
Referências:
[1] A. Schönhage, exemplos de separação polinomial de raízes , Journal of Symbolic Computation 41 (2006), n. 10, pp. 1080-1090, doi: 10.1016 / j.jsc.2006.06.003 .
[2] M. Mignotte, Alguns limites úteis , em: Buchberger, Collins, Loos (eds.), Álgebra de Computadores: Computação Simbólica e Algébrica, 2ª ed., Springer-Verlag, 1983, pp. 259–263, doi: 10.1007 / 978-3-7091-7551-4_16 .
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Sinto que os limites dependerão fortemente da estrutura de conectividade específica do gráfico.
Um exemplo seria um ciclo de um modo de comprimento . Com a ordem correta, não é difícil ver que , então os autovalores são todas as -ésimas raízes da unidade, ou seja, com saindo de a .A ( G ) N - I = 0 N e 2 π i n / N n 0 N - 1N A(G)N−I=0 N e2πin/N n 0 N−1
Para ainda , você está garantido alguns autovalores puramente imaginários e .i - iN i −i
Agora, por outro lado, fui para Wolframalpha e liguei o gráfico completo do tamanho 4, depois removi uma única aresta. O gráfico resultante possui autovalores puramente reais (apesar de não ter uma matriz de adjacência simétrica; sim, isso pode acontecer). O que me diz que não há uma declaração geral.
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