Um antichain em um DAG é um subconjunto Um ⊆ V de vértices que são emparelhados inacessível, ou seja, não há nenhum v ≠ v ' ∈ Um tal que v é acessível a partir de v ' em E . Do teorema de Dilworth na teoria de ordem parcial, sabe-se que se o DAG não possui antichain de tamanho k ∈ N , ele pode ser decomposto em uma união de no máximo k - 1 cadeias disjuntas, ou seja, caminhos direcionados.
, o que posso assumir sobre sua estrutura? Posso decompor de alguma maneira especial? Eu já estou intrigado com o caso de , mas também estou interessado no caso de um conjunto de rótulos finitos gerais.
Visualizar isso para , dizer que não possui antichain de tamanho rotulado significa que não há antichain contendo pelo menos vértices rotulados e vértices rotulados ; pode haver antichains arbitrariamente grandes, mas eles devem conter apenas elemento ou apenas elementos , até no máximo exceções . Parece que não permitindo grandes antichains deve impor que a DAG essencialmente "suplentes" entre partes de grande largura de vértices marcados com, e grande largura decom vértices, mas não pude formalizar essa intuição. (Obviamente, uma caracterização estrutural adequada deve falar sobre os rótulos dos vértices, além da forma do DAG, porque já para e em a condição é satisfeita por DAGs completamente arbitrários sempre que todos os vértices têm o mesmo rótulo.)
Respostas:
Com Charles Paperman , conseguimos obter esse resultado para DAGs rotulados com o alfabeto . Essencialmente, pode-se mostrar que, dado um DAG que tem grandes antichains de elementos marcados com, grandes antichains de marcado com elementos, mas não há grandes antichains contendo tanto muitos marcado com e elementos marcados com, em seguida, existe uma decomposio de como uma partição , em que:{a,b} G a b a b G L1,…,Ln
Além disso, essa partição pode ser calculada em PTIME.
Publiquei nossa prova atual on-line . É muito difícil e, essencialmente, não é revisado porque não temos utilidade para o resultado no momento, mas eu ainda achava mais ordenado adicionar uma resposta a essa pergunta do CStheory com nosso progresso atual. Não hesite em entrar em contato comigo se estiver interessado no resultado, mas não conseguir entender a prova.
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