Geralmente, constrói-se um gráfico e, em seguida, faz-se perguntas sobre a decomposição do autovalor da matriz de adjacência (ou algum parente próximo como o Laplaciano ) (também chamado de espectro de um gráfico ).
Mas e o problema inverso? Dados valores próprios, é possível (eficientemente) encontrar um gráfico que possua esse espectro?
Eu suspeito que, em geral, isso é difícil de fazer (e pode ser equivalente ao IG), mas e se você relaxar um pouco as condições? E se você criar condições para que não haja multiplicidade de autovalores? Que tal permitir gráficos com espectros "próximos" por alguma métrica de distância?
Quaisquer referências ou idéias serão bem-vindas.
EDIT :
Como Suresh ressalta, se você permitir gráficos ponderados não direcionados com auto-loops, esse problema se tornará bastante trivial. Eu esperava obter respostas sobre o conjunto de gráficos simples não direcionados e não ponderados, mas também ficaria feliz com os gráficos direcionados não ponderados.
Respostas:
Cvetcovic et all na Seção 3.3 do "Os resultados recentes na teoria dos espectros gráfico" vai sobre algoritmos para a construção de gráficos dada espectro em alguns casos especiais
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Mesmo perguntar se existe um gráfico com um determinado espectro é uma pergunta difícil. Isso é testemunhado pelo problema aberto de determinar se existe um gráfico de perímetro 5 de diâmetro 2 e ordem 3250 cujo espectro (se existir) é conhecido.
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Um outro obstáculo para definir sua pergunta é que são gráficos isoespectrais (mesmos valores próprios), mas não isomórficos. Então, dada uma lista de autovalores nesse caso, qual gráfico você deseja? Talvez você queira apenas que um algoritmo retorne um elemento aleatório do conjunto desses gráficos não isomórficos?
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