Matriz balanceada explícita

É possível construir uma explícita 0 / 1 -matrix com N 1,5 queridos tal que cada N 0,499 × N 0,499 submatrix contém menos de N 0,501 queridos?$N \times N$ $0/1$$N^{1.5}$$N^{0.499} \times N^{0.499}$$N^{0.501}$

Ou provavelmente é possível criar um conjunto de batidas explícito para essa propriedade.

É fácil ver que a matriz aleatória tem essa propriedade com probabilidade exponencialmente próxima a . Além disso, o lema de mistura do expansor não é suficiente para derivar essa propriedade.$1$

Eu acho que geradores pseudo-aleatórios que enganam retângulos combinatórios podem ajudar aqui, mas eles são projetados para distribuições uniformes e eu basicamente preciso de aqui.$B(N^2, N^{-0.5})$

O que você procura é um extrator de um bit para duas fontes independentes: uma função , de modo que, desde que X, Y sejam variáveis ​​aleatórias com entropia mínima 0,499 * log (N), E (X, Y) está quase equilibrado.E: [ N] × [ N] → { 0 , 1 }$E:[N]\times [N]\to \{0,1\}$$E:[N]\times [N]\to \{0,1\}$

É um problema difícil notório. Para os parâmetros que você deseja, acredito que foi resolvido pela Bourgain. Veja aqui: http://www.cs.washington.edu/homes/anuprao/pubs/bourgain.pdf

Essa resposta é baseada na idéia de Dana na resposta acima.

$\delta = 0.001$$N=2^n$$f(x,y)$$(X, Y)$$n$$k = n(1/2 - \delta)$$n' = n/2$$\epsilon$$k'=n(1/2-3\delta)$$2k > k'+\log(1/\epsilon)+O(1)$

M. Capalbo, O. Reingold, S. Vadhan, A. Wigderson. Condutores de aleatoriedade e expansão em grau constante além do grau / 2 barreiras

$\epsilon = 2^{-k'}$$n'$$z$$(x,y)$$f(x,y)=z$$2^{1.5 n}$$z$$z$$O(2^{-n/2})$$N \times N$$(x,y)$$1$$(x,y)$$f(x,y)=z$$z$$2^{1.5n}$ uns.

$2^k \times 2^k$$X, Y$$f$$f(X,Y)$$\epsilon$$k'$$1$$2^{-k'}+\epsilon\leq 2^{-k'+1}$$2^{2k-k'+1} = O(2^{n/2 + \delta})$

$f$