Qual é a prova dessa versão fora do padrão da desigualdade de Azuma?

No Apêndice B de Boosting and Differential Privacy, de Dwork et al., Os autores declaram o seguinte resultado sem prova e se referem a ele como a desigualdade de Azuma:

Sejam $C_1, \dots, C_k$ variáveis ​​aleatórias com valor real, de modo que para cada $i \in [k]$ ,

1. $\Pr[|C_i| \leq \alpha] = 1$
2. para cada , temos .$(c_1, \dots, c_{i - 1}) \in \text{Supp}(C_1, \dots, C_{i - 1})$$\text{E}[C_i \mid C_1 = c_1, \dots, C_{i - 1} = c_{i - 1}] \leq \beta$

Então, para cada , temos .$z > 0$$\Pr[\sum_{i = 1}^k C_i > k\beta + z \sqrt{k} \cdot \alpha] \leq e^{-z^2/2}$

Estou tendo problemas para provar isso. A versão padrão da desigualdade de Azuma diz:

Suponha que seja um martingale e quase certamente. Então, para todo , temos .$\{X_0, X_1, \dots, X_k\}$$|X_i - X_{i - 1}| \leq \gamma_i$$t > 0$$\Pr[X_k \geq t] \leq \exp(-t^2/(2 \sum_{i = 1}^k \gamma_i^2))$

Para provar a versão da desigualdade de Azuma declarada por Dwork et al., que deveríamos tomar e . Dessa forma, acho que é um martingale. Mas tudo o que podemos dizer é que quase certamente, certo? Esse fator de dois causa problemas, porque significa que, após a substituição, simplesmente descobrimos que , que é mais fraca que a conclusão afirmada por Dwork et al.$X_0 = 0$$X_i = X_{i - 1} + C_i - \text{E}[C_i \mid C_1, C_2, \dots, C_{i - 1}]$$\{X_0, \dots, X_k\}$$|X_i - X_{i - 1}| \leq 2\alpha$$\Pr[\sum_{i = 1}^k C_i > k\beta + z\sqrt{k} \cdot 2\alpha] \leq e^{-z^2/2}$

Falta um truque simples? É a afirmação de Dwork et al. faltando um fator de dois?

Não consigo encontrar uma referência, então vou esboçar a prova aqui.

Teorema. Seja sejam variáveis ​​aleatórias reais. Seja sejam constantes. Suponha que, para todos os e todos no suporte de , temos$X_1, \cdots, X_n$$a_1, \cdots, a_n, b_1, \cdots, b_n$$i \in \{1,\cdots,n\}$$(x_1,\cdots,x_{i-1})$$(X_1, \cdots, X_{i-1})$

1. $\mathbb{E}[X_i | X_1=x_1, \cdots, X_{i-1}=x_{i-1}] \leq 0$ e
2. $\mathbb{P}[X_i \in [a_i,b_i]]=1$ .

Então, para todos ,$t\geq0$

$$\mathbb{P}\left[\sum_{i=1}^n X_i \geq t\right] \leq \exp\left(\frac{-2t^2}{\sum_{i=1}^n (b_i-a_i)^2}\right).$$

Prova. Defina . Afirmamos que Para todos os e , temos Por suposição, e para todos os no suporte de$Y_i = \sum_{j=1}^i X_j$

$$\forall i \in \{1,\cdots,n\}~\forall \lambda \geq 0 ~~~~~ \mathbb{E}\left[e^{\lambda Y_i}\right] \leq e^{\frac18 \lambda^2 \sum_{j=1}^i (b_j-a_j)^2}.\tag*{(*)}$$ $i$$\lambda$ $$\mathbb{E}\left[e^{\lambda Y_i}\right] = \mathbb{E}\left[e^{\lambda Y_{i-1}}\cdot e^{\lambda X_i}\right] = \mathbb{E}\left[e^{\lambda Y_{i-1}}\cdot \mathbb{E}\left[e^{\lambda X_i}\middle|Y_{i-1}\right]\right].$$ $\mu(y_{i-1}):=\mathbb{E}[X_i|Y_{i-1}=y_{i-1}]\leq 0$$\mathbb{P}[X_i \in [a_i,b_i]] =1$$y_{i-1}$$Y_{i-1}$. (Observe que .) Assim, pelo lema de Hoeffding , para todos os no suporte de e todos os . Como , temos, para todos , Agora a indução produz a reivindicação (*) acima.$Y_{i-1}=X_1+\cdots+X_{i-1}$ $$\mathbb{E}\left[e^{\lambda X_i}\middle|Y_{i-1}=y_{i-1}\right] \leq e^{\lambda\mu(y_{i-1})+\frac18 \lambda^2(b_i-a_i)^2}$$ $y_{i-1}$$Y_{i-1}$$\lambda \in \mathbb{R}$$\mu(y_{i-1})\leq 0$$\lambda \geq 0$ $$\mathbb{E}\left[e^{\lambda Y_i}\right] \leq \mathbb{E}\left[e^{\lambda Y_{i-1}}\cdot e^{0+\frac18 \lambda^2(b_i-a_i)^2}\right].$$

Agora aplicamos a desigualdade de Markov em e usamos nossa reivindicação (*). Para todos os , Por fim, defina para minimizar a expressão da mão direita e obter o resultado. $e^{\lambda Y_n}$$t, \lambda > 0$

$$\mathbb{P}\left[\sum_{i=1}^n X_i \geq t\right]=\mathbb{P}[Y_n \geq t] = \mathbb{P}\left[e^{\lambda Y_n} \geq e^{\lambda t}\right] \leq \frac{\mathbb{E}\left[e^{\lambda Y_n}\right]}{e^{\lambda t}} \leq \frac{e^{\frac18 \lambda^2 \sum_{i=1}^n (b_i-a_i)^2}}{e^{\lambda t}}.$$ $\lambda=\frac{4t}{\sum_{i=1}^n (b_i-a_i)^2}$$\tag*{$\blacksquare$}$

Como mencionei no meu comentário, a principal diferença entre esta e a afirmação "usual" da desigualdade de Azuma está exigindo , em vez de . O primeiro permite mais flexibilidade e isso economiza um fator de 2 em alguns casos.$X_i \in [a_i,b_i]$$X_i \in [-a,a]$

Observe que as variáveis ​​aleatórias na prova são um supermartingale. Você pode obter a versão usual da desigualdade de Azuma usando um Martingale , configurando e (onde ) e depois aplique o resultado acima.$Y_i$$Y_1, \cdots, Y_n$$X_i=Y_i-Y_{i-1}$$[a_i,b_i]=[-c_i,c_i]$$\mathbb{P}[|Y_i-Y_{i-1}|\leq c_i]=1$