Quando consideramos um algoritmo de aproximação para um problema de minimização, o gap de integralidade de uma formulação IP para esse problema fornece um limite inferior de uma taxa de aproximação para determinada classe de algoritmos (como arredondamento ou algoritmo primal-duplo). De fato, existem muitos problemas cuja melhor taxa de aproximação corresponde à diferença de integralidade.
Algum algoritmo pode ter uma taxa de aproximação melhor do que a diferença de integralidade para algum problema, mas não sei se esse exemplo existe ou não. Se a resposta for sim, você poderia dar alguns exemplos?
Eu sei que alguns problemas admitem múltiplas formulações matemáticas. Nesses casos, considere a formulação matemática com o menor intervalo de integralidade, desde que possa ser resolvida em tempo polinomial (talvez algumas formulações possam usar oráculos de separação).
Esta questão está relacionada à [a questão: A importância da abertura da integralidade] .
Respostas:
Como apontado, existem alguns exemplos.
Um exemplo clássico é a correspondência máxima, em que o relaxamento "natural" (sem restrições de conjuntos ímpares) tem uma diferença de 2, enquanto é claro que existe um algoritmo eficiente. Porém, este não se qualifica totalmente, pois existe um LP de tamanho exponencial que pode ser resolvido via elipsóide.
Uma intrigante é a localização das instalações capacitadas. Aqui, o relaxamento natural tem uma lacuna de integralidade ilimitada. No entanto, algoritmos baseados em pesquisa local fornecem aproximações constantes de fatores.
Outro muito interessante (embora seja um problema de maximização) é este artigo: http://www.cis.upenn.edu/~sanjeev/postscript/FOCS09_MaxMin.pdf . Aqui o LP tem uma grande lacuna, e ainda um algoritmo que usa esse LP pode fazer melhor.
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Existem vários exemplos nos quais um relaxamento de programação semidefinido permite uma aproximação superior às lacunas de integralidade conhecidas para relaxamentos de programação linear.
Por exemplo, o relaxamento de programação linear padrão do corte máximo tem um intervalo de integralidade de 1/2, e isso é verdade mesmo para relaxamentos de programação linear muito mais sofisticados (cf. Vega-Kenyon e Schoenebeck-Trevisan-Tulsiani), mas os Goemans -Williamson SDP algoritmo tem aproximação 0,878 ...
O relaxamento de programação linear de Leighton-Rao do corte mais esparso possui uma lacuna de integralidade , mas o algoritmo SDP de Arora-Rao-Vazirani tem aproximação .S ( √Ω(logn) O(logn−−−−√)
Talvez menos conhecido, Karloff e Zwick mostram que o uso do SDP pode aproximar o Max 3SAT, na versão em que as cláusulas podem ter 1, 2 ou 3 literais, dentro de 7/8, enquanto Goemans e Williamson estudaram um relaxamento de programação linear que eles usado para provar uma aproximação de 3/4 (Yannakakis havia dado uma aproximação de 3/4 anteriormente por outros métodos), e o relaxamento de Goemans-Williamson LP do Max 3SAT é facilmente visto como tendo um gap de integralidade 3/4.
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Há também um resultado de Grant na solução de sistemas lineares sobre GF_2. Para sistemas de equações com uma boa solução, você tem um gap de integralidade do SDP (em uma forma muito forte) de 2 enquanto pode usar a Eliminação Gaussiana para resolver exatamente o problema.
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