Em Complexidade Descritiva , Immerman tem
Corolário 7.23. As seguintes condições são equivalentes:
1. P = NP.
2. Sobre estruturas finitas e ordenadas, FO (LFP) = SO.
Isso pode ser pensado como "amplificando" P = NP para uma declaração equivalente sobre classes de complexidade (presumivelmente) maiores. Observe que SO captura a hierarquia de tempo polinomial PH e que FO (LFP) captura P, então isso pode ser considerado como P = NP se P = PH.
(A parte interessante disso é a afirmação de que P = NP implica P = PH; é trivial que P = CC implique P = NP para qualquer classe CC que contenha NP. Immerman simplesmente observa "se P = NP então PH = NP" , presumivelmente porque P = NP pode ser usado com a definição oracle de PH para mostrar indutivamente que toda a hierarquia entra em colapso.)
Minha pergunta é:
Quanto mais P = NP pode ser amplificado dessa maneira?
Em particular, qual é a maior classe conhecida CC 'tal que P = NP implica P = CC', e a menor classe CC tal que P = NP implica CC = NP? Isso permitiria que P = NP fosse substituído pela pergunta equivalente CC = CC '. P parece ser uma classe bastante poderosa, que parece fornecer pouco "espaço de manobra" para argumentos que tentam separá-lo de NP: até que ponto a sala de manobra pode ser amplificada?
É claro que eu também estaria interessado em um argumento que mostra que P = PH é o limite dessa abordagem.
Editar: observe a questão intimamente relacionada Por que P = NP não implica P = AP (ou seja, P = PSPACE)? que se concentra na outra direção, por que não temos provas de que P = PSPACE. As respostas de Kaveh e Peter Shor argumentam que o número de alternâncias sendo corrigidas é fundamental. Outra questão relacionada é um problema de decisão que não se sabe estar em PH, mas estará em P se P = NP, que pede um problema candidato; as respostas também podem ser usadas para construir respostas para essa pergunta, embora essas classes sejam um pouco artificiais (obrigado a Tsuyoshi Ito por apontar isso). Em um cenário mais geral, colapso da máquina de turing limitada por exptime e alternância pergunta se um colapso local em qualquer nível de uma hierarquia de alternância induz um colapso ascendente, como acontece com a hierarquia de tempo polinomial.
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Respostas:
Do comentário de Russell Impagliazzo :
E do comentário de Lance Fortnow :
Para definição de veja a definição 6.3 emH
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Também acho que há apenas uma maneira correta de relativizar uma classe de complexidade problemática que causa muitos conceitos errôneos (como pensar a relativização como uma operação funcional em classes de complexidade em seu sentido extensional, uma relativização é uma modificação de um modelo de computação , não uma classe de funções ou idiomas). Eu acho que visualizar relativizações como estruturas de computação modificadas (interativas) é mais útil. Dessa forma, existem muitas maneiras úteis de relativizar as classes de complexidade (no sentido intencional). Para obter qualquer informação sobre a configuração não relativizada de uma estrutura relativizada, precisamos de algum tipo de princípio de transferência semelhante ao princípio de transferência na análise não-padrão. Observe que escolher um método particular de relativização para classes que preserva as relações conhecidas entre classes não nos dá um princípio de transferência (este é o principal critério normalmente usado na literatura para decidir qual é "a" relativização correta de uma classe).
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