O pior exemplo que consigo encontrar é 3 pontos em um triângulo equilátero, que atinge o . Observe que uma divisão aleatória produziria , mas parece intuitivamente óbvio que em dimensões baixas, é possível agrupar-se melhor do que aleatoriamente.
O que acontece com o max-k-cut para k> 2? Que tal uma dimensão d> 2? Existe uma estrutura para responder a essas perguntas? Conheço as desigualdades de Cheeger, mas elas se aplicam ao corte mais esparso (não ao corte máximo) e funcionam apenas para gráficos regulares.
(A questão é inspirada no problema de agrupar fontes de luz em gráficos de computador para minimizar a variação).
Respostas:
A constante tende a 1/2 conforme a dimensão aumenta. Nas dimensões d, você pode ter d + 1 pontos à distância um do outro, de modo que a soma da distância ao quadrado é e o corte máximo é no máximo , que é uma fração do peso total(d+12) (d+1)2/4 12⋅d+1d
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Pegue 3 pontos A, B, C em um triângulo equilátero e adicione mais 3 pontos D, E, F, no centro. É claro que você deseja dois de A, B, C em um lado do corte, então digamos que o corte nesses três pontos seja (AB; C). Agora, cada um dos pontos D, E, F deve ir no lado C do corte, de modo que o corte ideal é (AB; CDEF) e a proporção é facilmente verificada como 2/3.
Agora, mova cada um dos pontos D, E, F ligeiramente para longe do centro para formar um pequeno triângulo equilátero. Não importa em que direção, desde que sejam simétricos ao redor do centro. Se você os mover uma distância suficientemente pequena, o corte ideal ainda precisará ser (AB; CDEF). Considere o comprimento desse corte. As arestas (AC, BC) formam 2/3 do comprimento total das arestas (AB, BC, AC). Por simetria, o comprimento total das arestas (AD, AE, AF, BD, BE, BF) é 2/3 do comprimento das arestas (AD, AE, AF, BD, BE, BF, CD, CE, CF ) Mas nenhuma das arestas (DE, EF, DF) está no corte. Portanto, a proporção desse corte é estritamente menor que 2/3.
Você deve otimizar essa construção para encontrar uma configuração em que o corte ideal seja significativamente menor que 2/3. Tentando, entendo que, se você pegar seis pontos dispostos em dois triângulos equilaterais com o mesmo centro, com o menor o tamanho do maior, então o máximo -cut torna-se o peso total em vez de .0,64082/3(6–√−1)/5≈.2899 .6408 2/3
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