Deixe ser um gráfico conectado com nodos e bordas . Deixe denotar o peso (número inteiro) de gráfico , com o peso total no gráfico. O peso médio por nó é então . Seja denota o desvio do nó da média. Nós chamamoso desequilíbrio do nó .
Suponha que o peso entre dois nós adjacentes possa diferir no máximo , ou seja,
Pergunta : Qual é o maior desequilíbrio possível que a rede pode ter, em termos de e ? Para ser mais preciso, imagine o vetor . Eu ficaria igualmente satisfeito com os resultados relativos a ou .
Para , pode ser encontrado um limite simples em termos de diâmetro do gráfico: Como todo deve somar zero, se houver um grande positivo , em algum lugar deve haver um e_j negativo . Daí a diferença deles | e_i - e_j | é pelo menos | e_i | , Mas esta diferença pode ser, no máximo, a distância mais curta entre os nós i e j , o qual por sua vez pode ser, no máximo, ao diâmetro gráfico.
Estou interessado em limites mais fortes, de preferência para o número ou . Suponho que deveria envolver alguma teoria espectral dos grafos para refletir a conectividade do gráfico. Tentei expressá-lo como um problema de fluxo máximo, sem sucesso.
EDIT: Mais explicações. Estou interessado no número ou pois eles refletem com mais precisão o desequilíbrio total. Uma relação trivial seria obtida em e . Espero, no entanto, que, devido à conexão do gráfico e à minha restrição na diferença de cargas entre os nós adjacentes, as núcleos e sejam muito menores.
Exemplo: Hipercubo da dimensão d, com . Possui diâmetro . O desequilíbrio máximo é então no máximo . Isso sugere como um limite superior para o -norm . Até agora, não consegui construir uma situação em que isso seja realmente obtido, o melhor que posso fazer é algo como , em que integro um ciclo ao O hipercubo e os nós têm desequilíbrios , , , etc. Então, aqui o limite é desativado por um fator de d = log 2 ( n ) d 1 n d = n log 2 ( n ) | | → e | | 1 = n / 2 0 1 0 - 1 log ( n ), que já considero demais, pois estou procurando limites (assintoticamente) restritos.
Respostas:
Desdeé delimitada pelo diâmetro , a norma será trivialmente delimitada por , da mesma forma que para a norma , exceto por (na verdade, a norma é delimitada por ).d ℓ 1 n d ℓ 2 √|ei| d ℓ1 nd ℓ2 ℓpn 1 / p dn−−√d ℓp n1/pd
O caso é surpreendentemente fácil de analisar.ℓ1
Para um caminho, é fácil ver que é ; portanto, você não pode fazer melhor que . O ( n 2 ) O ( n d )∥e⃗ ∥1 O(n2) O(nd)
Para uma árvore -ary completa , você pode dividi-la ao meio na raiz, configurando , subindo um lado e descendo o outro até que as folhas tenham , produzindo novamente.k | e eu | = | w i | = log k n O ( n log k n ) = O ( n d )wroot=0 |ei|=|wi|=logkn O(nlogkn)=O(nd)
Para uma camarilha, não importa realmente como você distribui os pesos, uma vez que todos estarão um a do outro, e isso renderá novamente.O ( n ) = O ( n d )1 O(n)=O(nd)
Quando você percebe que o que estamos falando aqui é uma função , e então estamos usando o norma, contanto que você possa distribuir pesos arbitrariamente uniformemente no intervalo, o limite será .ℓ 1 e i ∈ [ - d / 2 , d / 2 ] O ( n d )e:Z→[−d/2,d/2]⊂R ℓ1 ei∈[−d/2,d/2] O(nd)
A única maneira de mudar isso é jogar com a massa. Por exemplo, se você tiver várias panelinhas gigantes em pontos que são necessariamente equilibrados, como uma camarilha gigante com dois caminhos de comprimento igual que sobressaem, poderá contar com um limite de apenas (por exemplo) .O(d2)
Isso também pode ser verdade para os expansores, mas não tenho certeza. Eu poderia imaginar um caso em que você define em um gráfico regular e depois permite que os valores aumentem posteriormente a cada salto. Parece provável que a média possa ter mais massa, mas não sei se seria suficiente para afetar o limite.w1=0
Eu acho que você poderia raciocinar da mesma forma sobre .ℓ2
EDITAR:
Nos comentários, descobrimos um limite (fraco) de usando as restrições do problema e alguma teoria básica de grafos espectrais. O ( | E | / λ 2 ( G ) )ℓ2 O(|E|/λ2(L))
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Para gráficos conectados, o desequilíbrio é superior delimitado pelo diâmetro do gráfico. Para limitar o desequilíbrio , podemos reescrever cada como onde é o caminho mais curto de para . Defina . Podemos escrever w k w k - v 1 + v 1 - v 2 + v 2 - . . . -|wi−1/n∑kwk| wk w k , v 1 , . . . , v k , w i w iwk−v1+v1−v2+v2−...−vk+vk−wi+wi wk,v1,...,vk,wi wi w k i = w k - v 1 + v 1 - v 2 + v 2 - . . . - v k + v k - w i | w i - 1 / n ∑ k w k | = | w i - 1 / n ∑ k ( w k i + wwk wki=wk−v1+v1−v2+v2−...−vk+vk−wi
Cada é superior delimitada pelo comprimento do percurso mais curto a partir de a por sua pressuposto de que para cada . Portanto, obtemos o limite trivial: i k w i - w jwki i k i , j ∈ E | w i - 1 / n ∑ k w k | ≤ ( n - 1 )wi−wj≤1 i,j∈E
Isso pode não estar muito longe do ideal. Estou pensando em uma completa árvore -ary onde os nós em cada nível tem peso, um maior do que o peso do nível anterior. Uma grande fração do gráfico tem o peso mais alto, . Portanto, a média deve ser inclinada para o topo. Como e se tornam maiores, espero para se aproximar e mais perto de o que significa que o desequilíbrio deve ficar cada vez mais perto .D + 1 k n m D + 1 Dk D+1 k n m D+1 D
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