Dado um gráfico , o problema clássico de correspondência máxima é escolher o subconjunto máximo de arestas st, para cada aresta , .M ( u , v ) ∈ M d ( u ) = d ( v ) = 1
Alguém estudou a seguinte variante? Para cada aresta , , onde c é um constante. Chamamos essa restrição de restrição de grau.( ( d ( u ) < c ) ∨ ( d ( v ) < c ) )
A restrição clássica é uma conjunção em grau com constante 1. A nova variante é uma disjunção em grau com constante .
O problema em já está como mostra Jukka Suomela. Estou interessado nos possíveis algoritmos de aproximação. Um algoritmo simples e ganancioso seleciona o subgrafo de estrela máximo iterativamente até que nenhum subgrafo de estrela (ou seja, nenhuma aresta (uma estrela especial)) possa ser selecionado. Mas esse algoritmo tem um desempenho ruim, mesmo quando é uma árvore quando . Existe uma estrela interna cujo centro possui o grau , e existem estrelas externas em que cada centro possui o grau e conectado ao centro da estrela interna. O valor ideal é selecionando arestas de cada um deN P - c o m p L e T e L c = 3 x x x 2 * x + ( X - 2 ) * ( x - 1 ) x - 2 x - 2estrelas externas e 2 estrelas externas completas. O valor produzido pelo algoritmo greeedy é , selecionando a estrela interna e uma aresta de cada estrela externa.
O algoritmo guloso acima é de aproximação, onde. Eu quero encontrar um algoritmo de aproximação melhor desse algoritmo ou provar sua dureza de aproximação. n=| V|
Além disso, quero conhecer a classe de complexidade desse problema no quadro da complexidade parametrizada. Talvez ele possua um algoritmo de parâmetro fixo razoável.
Muito obrigado pelo seu comentário e resposta com antecedência. :-)
Respostas:
(Como parece que a conexão não é completamente óbvia, escreverei uma versão estendida dos comentários acima como resposta.)
Vou me concentrar no caso de . Nesse caso, o problema pode ser reformulado da seguinte maneira:c = 2
Equivalentemente:
Equivalentemente:
A seguir, interpretarei os nós não correspondentes (nós não relacionados a nenhuma aresta em ) como estrelas com 0 arestas. Portanto, uma solução viável particiona o conjunto de nós em estrelas separadas por nós.M
Agora, se o número dessas estrelas for , então o número de arestas em M é exatamente n - k : existem n - k nós de folhas que estão conectados a um centro de estrelas. Portanto, maximizar o número de arestas em M é equivalente a minimizar o número de estrelas.k M n - k n - k M
Agora é fácil ver que temos uma solução com tais estrelas se tivermos um conjunto dominante de tamanho k :k k
Portanto resolver o problema de forma otimizada em uma determinada família gráfico é exatamente tão difícil como encontrar um conjunto dominante mínimo na mesma família gráfico F . Em particular, o problema é NP-difícil, mesmo no caso de gráficos bipartidos.F F
(No entanto, os resultados de (in) aproximabilidade relacionados a conjuntos dominantes não podem ser diretamente aplicados aqui. Em essência, alteramos a função objetivo de para .)min | D | max n - | D |
fonte