Dado um conjunto de pontos em um espaço cartesiano 3D, estou procurando um algoritmo que classifique esses pontos, de modo que a distância euclidiana mínima entre dois pontos consecutivos seja maximizada.
Também seria benéfico se o algoritmo tivesse uma tendência a uma distância euclidiana média mais alta entre pontos consecutivos.
graph-algorithms
cg.comp-geom
optimization
Lior Kogan
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Respostas:
ETA: Tudo abaixo está no artigo " No TSP de dispersão máxima ", Arkin et al, SODA 1997.
Não sei as respostas exatas, mas aqui está outra abordagem um pouco diferente da sugestão de Suresh sobre o agrupamento de Gonzalez:
Assuma, por simplicidade, que é par. Para cada vértice , encontre a mediana das distâncias . Forme um gráfico não direcionado no qual cada vértice esteja conectado aos outros vértices que estão pelo menos a distância média. O grau mínimo neste gráfico é pelo menos , portanto, pelo teorema de Dirac, é possível encontrar um ciclo hamiltoniano neste gráfico.p n - 1 d ( p , q ) p n / 2n p n−1 d(p,q) p n/2
Por outro lado, existem vértices no disco centrado em com raio , muitos para formar um conjunto independente no ciclo, portanto, qualquer ciclo hamiltoniano teria que ter uma borda conectando alguns desses vértices, com comprimento no máximo . Portanto, o ciclo hamiltoniano encontrado por esse algoritmo é na pior das hipóteses uma aproximação de 2 ao ciclo máximo de gargalo.p d ( p , q ) 2 d ( p , q )n/2+1 p d(p,q) 2d(p,q)
Isso funcionará em qualquer espaço métrico e fornece a taxa de aproximação ideal entre algoritmos que funcionam em qualquer espaço métrico. Pois, se você puder aproximar-se melhor do que dentro de um fator de dois, poderá resolver exatamente os problemas do ciclo hamiltoniano, reduzindo o gráfico de entrada ao problema do ciclo hamiltoniano em um espaço métrico com distância 2 para cada extremidade do gráfico e distância 1 para cada não -Beira.
Provavelmente, com algum cuidado, você pode massagear isso em um algoritmo de aproximação para caminhos, em vez de ciclos.
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Fizemos o upload de uma pré-impressão que trata dessa questão, ou seja, fornece um PTAS para TSP máximo de dispersão no caso euclidiano. http://arxiv.org/abs/1512.02963 (László Kozma, Tobias Mömke: um PTAS para o TSP de dispersão máxima euclidiana)
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