É bem conhecido que e são proibidos menores para grafos planares. Existem centenas de menores proibidos para gráficos incorporados em um toro. O número de menores proibidos para gráficos incorporáveis na superfície do gênero g é uma função exponencial de g . Minha pergunta é a seguinte:
Existe um gráfico explícito nos t vértices (que não é um gráfico completo) tal que é um menor proibido para gráficos incorporáveis na superfície do gênero g , onde t é uma função de g ?G t
EDIT: Eu percebi que o seguinte teorema é conhecido:
Para toda superfície exists existe um número inteiro r tal que não incorpora Σ.
Então, eu estou procurando por que não é um gráfico completo, não um gráfico bipartido completo.
graph-theory
co.combinatorics
graph-minor
algebraic-topology
Shiva Kintali
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Respostas:
A união disjunta de cópias de K 5 (ou K 3 , 3 ) é uma menor mínima proibida para os gráficos do gênero n - 1 ; o mesmo se aplica a um gráfico no qual algumas dessas cópias compartilham um único vértice, de modo que os blocos do gráfico são K 5 ou K 3 , 3 . Isto resulta dos resultados em J. Battle, F. Harary, Y. Kodama e JWT Youngs, "Aditividade do gênero de um gráfico", Bull. Amer. Matemática. Soc. 68 (1962) 565-568, e já é suficiente para mostrar que há pelo menos exponencialmente muitos menores proibidos.n K5 K3,3 n−1 K5 K3,3
Bojan Mohar, "Uma obstrução à incorporação de gráficos em superfícies", Discrete Math. 78 (1989) 135-142, lista o gráfico formado a partir de removendo um ciclo 4 como tendo o gênero 2. Como K 7 é toroidal, isso significa que K 8 ∖ C 4 ou um de seus subgrafos de extensão é uma obstrução para incorporação de toro, e que os gráficos que possuem n cópias deste gráfico como seus blocos têm o gênero 2 n .K8 K7 K8∖C4 n 2n
Mohar também mostra que o gráfico formado a partir de um ciclo conectando o vértice 0 a todos os vértices pares e o vértice 1 a todos os vértices ímpares tem "gênero relativo" pelo menos ⌈ k / 2 ⌉ . O gráfico é plano, mas acho que o gênero relativo significa que o ciclo deve ser um rosto; ou você pode adicionar outro vértice ao gráfico, conectado a todos os vértices do ciclo, para efetivamente forçá-lo a ser uma face. Talvez isso seja mais próximo do tipo de coisa que você deseja. Mas não acho que ele mostre que esses gráficos são menores proibidos.(2k+2) ⌈k/2⌉
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