Menores proibidos para gráficos de gênero limitados

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É bem conhecido que K5 e K3,3 são proibidos menores para grafos planares. Existem centenas de menores proibidos para gráficos incorporados em um toro. O número de menores proibidos para gráficos incorporáveis ​​na superfície do gênero g é uma função exponencial de g . Minha pergunta é a seguinte:

Existe um gráfico explícito nos t vértices (que não é um gráfico completo) tal que é um menor proibido para gráficos incorporáveis ​​na superfície do gênero g , onde t é uma função de g ?G tGtGt

EDIT: Eu percebi que o seguinte teorema é conhecido:

Para toda superfície exists existe um número inteiro r tal que não incorpora Σ.K3,r

Então, eu estou procurando por que não é um gráfico completo, não um gráfico bipartido completo.Gt

Shiva Kintali
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Então, você quer uma família infinita de gráficos, bem estruturada e parametrizada (exceto gráficos completos) que são proibidos menores para superfícies de todos os gêneros?
Derrick Stolee
@Derrick. Sim. Precisamente.
Shiva Kintali
Em seguida, reformularia a pergunta usando os seguintes termos: "Existe uma família de gráficos (simples de construir) para que H gK n seja um menor mínimo proibido para gráficos incorporados em uma superfície de gênero g ? " {Hg:g1}HgKng
Derrick Stolee
A restrição " e K 3 , 3 não são menores de G " não pode ser o que você deseja. Se eles não são menores de G , então G é plano e não pode ser um menor proibido para nenhum gênero superior. K5K3,3GGG
9788 David Eppstein #
@DavidEppstein removi minhas modificações. Basicamente, estou procurando obstruções "diferentes" de e K 33 . K5K33
Shiva Kintali

Respostas:

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A união disjunta de cópias de K 5 (ou K 3 , 3 ) é uma menor mínima proibida para os gráficos do gênero n - 1 ; o mesmo se aplica a um gráfico no qual algumas dessas cópias compartilham um único vértice, de modo que os blocos do gráfico são K 5 ou K 3 , 3 . Isto resulta dos resultados em J. Battle, F. Harary, Y. Kodama e JWT Youngs, "Aditividade do gênero de um gráfico", Bull. Amer. Matemática. Soc. 68 (1962) 565-568, e já é suficiente para mostrar que há pelo menos exponencialmente muitos menores proibidos.nK5K3,3n1K5K3,3

Bojan Mohar, "Uma obstrução à incorporação de gráficos em superfícies", Discrete Math. 78 (1989) 135-142, lista o gráfico formado a partir de removendo um ciclo 4 como tendo o gênero 2. Como K 7 é toroidal, isso significa que K 8C 4 ou um de seus subgrafos de extensão é uma obstrução para incorporação de toro, e que os gráficos que possuem n cópias deste gráfico como seus blocos têm o gênero 2 n .K8K7K8C4n2n

Mohar também mostra que o gráfico formado a partir de um ciclo conectando o vértice 0 a todos os vértices pares e o vértice 1 a todos os vértices ímpares tem "gênero relativo" pelo menos k / 2 . O gráfico é plano, mas acho que o gênero relativo significa que o ciclo deve ser um rosto; ou você pode adicionar outro vértice ao gráfico, conectado a todos os vértices do ciclo, para efetivamente forçá-lo a ser uma face. Talvez isso seja mais próximo do tipo de coisa que você deseja. Mas não acho que ele mostre que esses gráficos são menores proibidos.(2k+2)k/2

David Eppstein
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Seu último parágrafo sobre o ciclo é o que estou procurando. Obrigado. Estou aceitando sua resposta. (2k+2)
Shiva Kintali 9/11/11