Diferenciação da função de valor em Burdett Mortensen (1998)

Atualmente, estou fazendo o meu caminho através do clássico artigo de Burdett e Mortensen sobre a procura de emprego. O que deveria ser uma tarefa fácil de encontrar uma expressão para o salário de reserva é um pouco mais complicado pela presença do operador máximo. Somos confrontados com a seguinte equação de Bellman para o valor de um trabalho que paga um salário $w$ . As equações do mensageiro são padrão. O valor de um trabalho que paga $w$ consiste no salário $w$ mais o ganho esperado da pesquisa e busca de um emprego melhor descontado pela probabilidade de uma oferta de emprego $\lambda_1$ mais a perda de ficar desempregado quando o trabalho é destruído à taxa $\delta$ . O valor do desemprego $V_0$$b$$\lambda_0$$F$ r V 0 = b + λ 0 [ ∫ max { V 0 , V 1 ( ˜ x )

$$\begin{equation} rV_1(w)=w+\lambda_1\bigg[\int \max\{V_1(w),V_1(\tilde{x})\}-V_1(w)\bigg]\;dF(\tilde{x})+\delta [V_0-V_1(w)] \end{equation}$$ V 1 ( w ) w V $$\begin{equation}rV_0=b+\lambda_0 \bigg[\int \max\{V_0,V_1(\tilde{x})\}\;dF(\tilde{x})-V_0\bigg]\end{equation}$$ $V_1(w)$$w$$V_0$é independente disso, sabemos que existe um salário de reserva, de modo que se , w <R \ implica V_1 (w) <V_0 e V_1 (R) = V_0 . Argumentos padrão (integração por partes) mostram que \ begin {equation} Rb = (\ lambda_0- \ lambda_1) \ int_R ^ \ infty V_1 '(\ tilde {x}) [1-F (\ tilde {x})] \ ; d \ tilde {x} \ end {equação} a partir daqui, gostaria de pegar a derivada da primeira equação e resolver por V_1 '(w) . No entanto, se eu usar a regra de integração Leibniz, preciso que o integrando seja diferenciável. O máximo de duas funções contínuas geralmente não é diferenciável onde são iguais, então eu tenho um problema. Se eu presumir que integro em todos os \ tilde {x} \ geq w , w < $w>R\implies V_1(w)>V_0$$w<R\implies V_1(w)<V_0$ R - b = ( λ 0 - λ 1 ) ∫ ∞ R V ' 1 ( ~ x ) [ 1 - F ( ~ x ) $V_1(R)=V_0$ V ′ 1 ( w $$\begin{equation} R-b=(\lambda_0-\lambda_1)\int_R^\infty V_1'(\tilde{x})[1-F(\tilde{x})]\;d\tilde{x} \end{equation}$$ $V_1'(w)$V1( ˜ x )≥V1(w$\tilde{x}\geq w$$V_1(\tilde{x})\geq V_1(w)$ (ofertas salariais que induzirão um trabalhador a trocar de emprego) e o resultado segue a regra de Leibniz. Mas há salários na distribuição que não serão aceitos e esse derivado não se manterá. O derivado é $$\begin{equation} V'(\tilde{x})=\frac{1}{r+\delta+\lambda_1(1-F(\tilde{x}))} \end{equation}$$ eu imaginar I estou faltando alguma coisa, mas não tenho certeza do quê. Se alguém pudesse me dar algum conselho, eu realmente apreciaria.

Quando você usa a integral de um operador , acho que você deve dividir a integral em duas integrais separadas com diferentes apoios.$\max_{\{\cdot\}}$

Mesmo se sua função de valor for complicada e não houver diferenciabilidade, você só precisará de continuidade para que exista uma solução para resolver o problema de otimização.

Aqui está minha tentativa, em que assumo um limite superior absoluto no suporte de , , para simplificar.F ( ¯ w ) = $F$$F(\overline{w})=1$

Reescreva a primeira equação como que

$$\begin{equation} rV_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(\tilde{x})dF(\tilde{x}) +\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{I} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) +\delta[V_0-V_1(w)] \ , \end{equation}$$ $$\begin{equation} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x})= -\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) -\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{II} \ . \end{equation}$$

Os termos e cancelados, de modo que a organização fornece Se aplicarmos o conhecimento de regra de Leibniz, obteremos que a última igualdade segue de . A solução para fornece a solução desejada.$I$$II$

$$\begin{equation} (\delta +r)V_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}[V_1(\tilde{x})-V_1(w)]dF(\tilde{x}) +\delta V_0 \ . \end{equation}$$ $$\begin{equation} (\delta +r)V_1'(w)= 1-\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1'(w)dF(\tilde{x})=1-\lambda_1V_1'(w)[1-F(w)] \ , \end{equation}$$ $F(\overline{w})=1$$V_1'(w)$