Verificação eficiente de preferências reveladas, se duas preferências em relação às loterias são iguais?

Quero encontrar condições sob as quais duas funções de utilidade possam ser transformações lineares uma da outra.

Considere um conjunto (possivelmente finito) arbitrária dos resultados (não necessariamente interpretada como commodities), e uma função de utilidade específica . Queremos descobrir se a função de utilidade de um agente é uma transformação linear de ou não. Considere um conjunto de loterias em . Agora, suponha que nós damos um escolhas agente entre subconjuntos . O que eu quero é: Que escolhas precisamos dar ao agente para saber que sua função de utilidade é uma transformação linear de alguma função de utilidade$X$$u^*:X\to \mathbb R$$u^*$$\mathcal L$$X$$C\subseteq \mathcal L$$u^*$? Nota: não precisamos verificar se o agente tem preferências racionais. Assumimos desde o início que ele tem uma função de utilitário vnM.

Isso é simplesmente preferência revelada, mas não me lembro de ter lido nada sobre isso especificamente.

Talvez eu estou longe de base sobre isso, mas dadas as exigências relativamente fortes impostas na pergunta, eu estou tentado a dizer que nunca pode realmente ser capaz de afirmar com certeza que a função de utilidade de algum indivíduo é absolutamente uma transformação linear de alguma outra função considerada ex ante. Embora dependendo das específicas , e iniciais feitas, pode ser possível descartar as duas por não satisfazerem o requisito de transformação, mas não acho que alguém possa realmente confirmá-lo.$u_i$$u^{*}$$u_i$$u^{*}$

A razão subjacente para esse pensamento é a inclusão de utilitários e loterias vNM sobre os resultados. Como a suposição anterior impõe cardinalidade à nossa estrutura de utilidade, sempre há a possibilidade de discrepâncias entre e . Mesmo considerando apenas uma boa (dinheiro, por exemplo), qualquer sequência de escolhas observadas feitas por algum indivíduo após uma função de utilidade pode diferir apenas de como um indivíduo que segue se comporta nas "lacunas". Não importa o quão bem as probabilidades e valores em dólares obter, sempre podemos chegar a alguma alternativa que replica as decisões até que ponto. (Sempre podemos considerar, por exemplo, alguns$u_i$$u^{*}$$u_i$$u^{*}$$u'$$u^{'}$isso ocorre em alguns intervalos em que é suave.$u^{*}$

Obviamente, à medida que nossa capacidade de observar intervalos cada vez menores aumenta a partir de dados observacionais de escolha repetida, os possíveis desvios entre e algumas alternativas tendem para zero. Porém, novamente, descobrir que todas as observações sugeridas até o momento sugerem que a utilidade do indivíduo é uma transformação linear de não garante que não haja algum intervalo da função em que eles são diferentes.$u^{*}$$u'$$u_i$$u^{*}$

Também deve ser salientado que isso realmente considera apenas casos extremos - para todos os propósitos experimentais, precisamos apenas de uma função que se aproxime da função de utilidade de um indivíduo. Mas acho que é mais difícil provar verdadeiramente que se trata de uma transformação linear do particular em mente.$u^{*}$

Primeiro, podemos reformular sua pergunta da seguinte maneira:

Dado um e uma preferência esperada pelo utilitário , qual é o subconjunto mínimo de necessário para garantir que ele seja representado por . $u^*: \mathcal L \to \mathbb R$$\succsim$$\succsim$$u^*$$^1$

Você pode fazer isso em observações, desde que todas as dimensões de sejam "representadas" nas observações. Vamos explorar como isso pode ser feito e, esperançosamente, no processo, tornar minha reivindicação coerente.$|X| - 1$$\mathcal L$

Por enquanto, assuma que é finito. Seja os melhores e os piores elementos de acordo com ; O wlog assume que e . É claro que deve ser , ou temos um contra-exemplo da hipótese de que é representado por . Agora, para cada outro elemento , precisamos apenas saber se $X$$b,w$$X$$u^*$$u^*(b) = 1$$u^*(w) = 0$$b \succsim w$$\succsim$$u^*$$x \in X$

Se isso for verdade, pelas propriedades de EU, qualquer representação (também normalizada em ) deve definir como .$b,w$$u(x)$$u^*(x)u(b) + (1-u^*(x))u(w) = u^*(x)1 + (1-u^*(x))0 = u^*(x)$

Agora, se é infinito, pode não haver um elemento melhor e pior, você terá que lidar com casos em que o elemento está acima ou abaixo dos limites da normalização. Essa questão surge também na prova do teorema do espaço de mistura e é tratada da mesma maneira - pegue misturas com os elementos extremos e calcule os pesos de acordo.$X$$x$

É fácil mostrar que menos dados do que os anteriores deixam um grau de liberdade que pode ser explorado. Em outras palavras, você deve verificar cada dimensão, mas basta fazer isso com uma única observação.

Pois qual é o valor disso é um caso específico de um resultado muito mais geral: uma função linear é completamente determinada por seu comportamento em vetores de base! é a sua base para .$X$$\mathcal L$

[1] Eu poderia estar entendendo sua pergunta errado. Talvez você queira dizer que ultrapassou não e você não tem acesso às propriedades cardinais de . Se for esse o caso, a resposta ainda permanece, mas a pergunta parece bem sem sentido.$u^*$$X$$\mathcal L$$u^*$