Localizando a função de demanda, dada a função min (x, y) do utilitário

Estou confuso sobre um ponto específico em relação a encontrar uma função de demanda. Todos os problemas neste conjunto de práticas que estou enfrentando envolvem a aplicação do método de multiplicadores Lagrangianos. Mas não tenho certeza se isso se aplica aqui a esse problema.

Configuração do problema

Considere um consumidor com a função utilidade . Suponha que recebamos riqueza w e preços p_x = 1, p_y = \ frac {1} {2} .$u(x,y) = \min\lbrace x,y\rbrace$p x = 1 , p y = $w$$p_x = 1, p_y = \frac{1}{2}$

Meu trabalho

Ainda não há muito a fazer. Tudo o que fiz foi configurar uma restrição de orçamento $w = xp_x + yp_y = x + \frac{1}{2} y$ .

Minha confusão

Estava tudo pronto para configurar uma equação multiplicadora Lagrangiana quando, de repente, percebi que minha função utilitária é uma função $\min$ . No começo, achei que essa função não era diferenciável. Agora, estou pensando que não é diferenciável, mas é parcialmente diferenciável. Ainda não tenho certeza.

Meu palpite

Eu suspeito que sim $\min$ é parcialmente diferenciável com base neste tópico

/math/150960/derivative-of-the-fx-y-minx-y

Mas suspeito que minha resposta precisará de um componente por partes ou algo assim.

Minha pergunta

Os multiplicadores lagrangianos são aplicáveis ​​aqui? Em caso afirmativo, como defino o lagrangiano em termos por partes, como acho que precisarei fazer? Se não é diferenciável, como derivar uma função de demanda dada uma função ou a ?$\min$$\max$

Não, você não deve usar multiplicadores Lagrange aqui, mas pensando bem. Suponha , digamos para concretude . Seja . Então Assim, o consumidor poderia reduzir o consumo de bens 2, sem estar em pior situação. Por outro lado, para todo , teríamos , para que o consumidor pudesse ser melhor reduzindo o consumo do segundo bem e gastando o dinheiro liberado no primeiro. Em condições ideais, um consumidor não pode melhorar, portanto a otimização requer . Também está claro que os consumidores melhoram ao longo dox < y ϵ = y - x min { x , y } = x = min { x , x } = min { x , y - ϵ } . δ > 0 min { x + δ , y - ϵ / 2 } > x = min { x , y $x\neq y$$x<y$$\epsilon=y-x$$\min\{x,y\}=x=\min\{x,x\}=\min\{x,y-\epsilon\}.$$\delta>0$$\min\{x+\delta,y-\epsilon/2\}>x=\min\{x,y\}$x = y x = $x=y$$x=y$Raio de 45 °. Portanto, você pode simplesmente usar como uma condição de otimização a ser substituída na restrição de orçamento e ignorar os multiplicadores Lagrange.$x=y$