É possível derivar curvas de indiferença, dada a função de demanda marshalliana?

Em um mundo com dois bens, uma demanda marshalliana funcionará como D(p,m)onde p é o preço de um bem e a renda produzirá uma função de utilidade ou função de curva de indiferença? Se sim, como alguém resolve isso?

Sim, sob algumas condições. Esse é o problema clássico de integrabilidade : para uma discussão detalhada, veja algumas excelentes notas de Kim Border .

Várias outras condições técnicas são necessárias, mas a condição mais substantiva economicamente é que a matriz Slutsky deve sempre ser simétrica e semidefinida negativa. Para ser concreto, se definir o º elemento da matriz Slutsky em ( p , m ) ser σ i j ( p , m ) = ∂ D i ( p , m $ij$$(p,m)$ então devemos terσij(p,m)=σji(p,m)para todos(p,m)e também para qualquer vetorvdevemos ter para todos(p,m)∑i∑jσij(p,m)vivj≤0 Anecessidade

$$\sigma_{ij}(p,m)=\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial p_j}+D_j(p,m)\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial m}$$ $\sigma_{ij}(p,m)=\sigma_{ji}(p,m)$$(p,m)$$v$$(p,m)$ $$\sum_i \sum_j \sigma_{ij}(p,m)v_iv_j \leq 0$$ dessas condições decorre imediatamente da teoria básica do consumidor, que mostra que, se a demanda marshalliana é derivada da maximização restrita de uma função de utilidade, a matriz Slutsky é simétrica e semidefinida negativa. Mas a suficiência dessas condições (em conjunto com outras premissas técnicas) para recuperarmos uma função de utilidade é uma questão mais complicada e, para obter os detalhes, recomendo as anotações de Border ou alguma outra fonte micro avançada.

$i=1,2$

$$\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = h_i(p,u) = D_i(p,e(p,u))$$ $D$$e$$(\bar{p},\bar{m})$$\bar{u}$$e(\bar{p},\bar{u})=\bar{m}$$p_1$$i=1$$e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})$$p_1$ $$h(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})=D(p_1,\bar{p}_2,e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u}))$$ $p_1$

$\bar{u}$$p_1$$p_1$