PBE de pegar ou largar

Eu encontrei uma pergunta interessante olhando para o perfeito equilíbrio bayesiano. Não vi uma pergunta em que as crenças não sejam discretas.

Existe um único comprador em potencial de um objeto que tem valor zero para o vendedor. A avaliação deste comprador v é distribuída uniformemente em [0, 1] e é uma informação privada. O vendedor nomeia um preço que o comprador aceita ou rejeita.$p_1$

Se ele aceitar, o objeto é negociado pelo preço acordado e o pagamento do comprador é e o vendedor é .p $v − p_1$$p_1$

Se ele rejeitar, o vendedor fará outra oferta de preço, p2. Se o comprador aceitar isso, seu pagamento será e o vendedor será , onde .δ p 2 δ = $\delta_(v − p_2)$$\delta p_2$$\delta = 0.5$

Se ele rejeitar, os dois jogadores receberão zero (não há mais lances).

Encontre um Equilíbrio Bayesiano Perfeito.

Minha abordagem usual é fixar crenças, mas não sei como fazer isso com crenças contínuas. Algum conselho?

Depois de postar uma solução ruim ontem, acredito que consegui uma melhor:

A estratégia do comprador consiste em duas funções que ambas as funções são mapeadas para { A , R } (onde A significa Accept, R para rejeitar). A estratégia do vendedor é ( p 1 , p 2 ( f 1 ( v , p 1 ) $(f_1(v,p_1),f_2(v,p_1,p_2))$$\left\{A,R\right\}$$A$$R$$(p_1,p_2(f_1(v,p_1)))$$f_2(v,p_1,p_2)$$A$$v \geq p_2$$H$$p_1$p 1 v - p 1 ≥ δ ⋅ ( v - p 2 ) . v ⋅

$$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(f_2(v,p_1,p_2) = A | f_1(v,p_1) = R).$$ $p_1$ $$v - p_1 \geq \delta \cdot (v - p_2).$$ v H H = [ 0 , ˉ v ) . p 2 ˉ v p ∗ 2 = arg max p 2 p 2 ⋅ P r o b ( v ≥ p 2 | v ∈ [ 0 , ˉ v ) ) = ˉ $$v \cdot (1 - \delta) \geq p_1 - \delta \cdot p_2.$$ O lado esquerdo desta equação está aumentando em ; portanto, os tipos com alta avaliação serão aceitos. Isso significa que no PBE o conjunto é tal que A partir disso, obtemos o ideal fornecido : No PBE é uma função de : então Determinamos todas as estratégias de PBE, mas$v$$H$ $$H = [0, \bar{v}).$$ $p_2$$\bar{v}$ˉ v p1 ˉ v ⋅(1-δ)=p1-δ⋅ ˉ $$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(v \geq p_2 | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2}.$$ $\bar{v}$$p_1$ ˉ v =p $$\bar{v} \cdot (1 - \delta) = p_1 - \delta \cdot \frac{\bar{v}}{2},$$ p1p1⋅(1-P1-ô⋅p2(ˉv(P1) $$\bar{v} = \frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}.$$ $p_1$ . A recompensa esperada do vendedor é onde Substituindo isso, obtemos $$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot p_2(\bar{v}(p_1)) \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} - p_2(\bar{v}(p_1)) \right),$$ $$p_2(\bar{v}(p_1)) = \frac{\bar{v}(p_1)}{2} = \frac{\frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}}{2} = \frac{p_1}{2 - \delta}.$$ $$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1}{2 - \delta} \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} - \frac{p_1}{2 - \delta} \right),$$

Você precisa maximizar esse erro . Com , obtive $p_1$$\delta = 0.5$

$$p_1^* = \frac{9}{20}, \hskip 20pt \bar{v} = \frac{3}{5}, \hskip 20pt p_2^* = \frac{3}{10}.$$