Otimização dinâmica: e se a condição de segunda ordem não for válida?

Considere o seguinte problema de otimização dinâmica

$$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$$

FOCs

O Hamiltoniano é dado por

$$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$$ As condições necessárias para otimizar são dadas pelo máximo princípio $$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$$

Suponha que $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ é um maximizador, ou seja, $H_{uu} < 0$ .

SOC

O Teorema Suficiente da Seta afirma que as condições necessárias são suficientes se o Hamiltoniano maximizado

$$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$$ é côncavo em $x$ , ou seja, se $H_{xx} < 0$ .

Problema

Suponha que os FOCs sejam retidos, mas o SOC falhe.

• O que se pode dizer sobre a otimização da solução?

Não existe uma resposta única, isso dependerá dos detalhes de cada problema. Vejamos um exemplo padrão.

Considere o problema de otimização intertemporal de referência para o modelo de Ramsey

$$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$$

O valor atual Hamiltoniano é

$$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$$

Maximizando sobre sozinho , temos$c$

$$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$$

e a condição de segunda ordem será mantida se a função de utilitário for côncava,

$$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$$

Além disso, a partir da condição de primeira ordem em relação ao consumo, se a não saciedade local for mantida. Suponha que temos essas preferências "usuais".$\lambda >0$

O Hamiltoniano maximizado sobre o consumo é

$$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$$

As derivadas parciais com relação à variável de estado, são$k$

$$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$$

Portanto, aqui, a condição de suficiência Arrow-Kurz se resume a saber se o produto marginal do capital está diminuindo, constante ou aumentando (o que dependerá do sinal da segunda derivada da função de produção). No caso padrão e temos a condição suficiente.$f''(k) < 0$

No caso mais famoso de desvio, o modelo de Romer, que iniciou a literatura de Crescimento Endógeno, , e o produto marginal do capital é uma constante positiva.f ″ ( k ) = $AK$$f''(k) =0$

Então, o que podemos dizer neste caso?

Aqui, Seierstad, A. e Sydsaeter, K. (1977). Condições suficientes na teoria de controle ideal. International Economic Review, 367-391. fornecer vários resultados que podem nos ajudar.

Em particular, eles provam que, se o hamiltoniano é côncavo em conjunto em e , é uma condição suficiente para um máximo. O Hessiano do Hamiltoniano é$c$$k$

(podemos ignorar o prazo de desconto)

$${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$$

No caso padrão com essa é uma matriz definida negativa e, portanto, o hamiltoniano é conjuntamente estritamente côncavo em e . c $u''(c) <0, \; f''(k) <0$$c$$k$

Quando , verificar se a matriz é semidefinida negativa é simples usando a definição. Considere um vetor e o produtoz = ( z 1 , z 2 ) T ∈ R$f''(k) =0$$\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

$$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$$

essa fraca desigualdade é e, portanto, o hessiano é côncavo em conjunto em e . c $\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$$c$$k$

Portanto, no modelo de crescimento endógeno, a solução é realmente máxima (sujeita às restrições de parâmetros necessárias para que o problema seja bem definido, é claro).$AK$