Demanda Marshalls para Cobb-Douglas

Ao tentar maximizar o utilitário com uma função de utilitário cobb-douglas , com , encontrei as seguintes fórmulas ( Wikipedia: Marshallian Demand ): a + b = $u=x_1^ax_2^b$$a+b = 1$

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

Em um dos meus livros, também encontro essas fórmulas com o mesmo objetivo:

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

Com : preços dos produtos; : orçamento$p_i$$m$

Eu testei todos eles e eles produziram os mesmos resultados.
Então, existem diferenças?

Como as equações são exatamente as mesmas. Substituindo por na terceira e quarta equações, obtém a primeira e a segunda equações.a + b $a + b=1$$a+b$$1$

É assim que você passa da sua primeira equação para a sua segunda. sua função de utilidade é pois mudarei levemente para ae (1-a) Para otimizar essas duas opções, você precisa maximizar a utilidade , escreva suas variáveis ​​de escolha. a + b = $u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b$$a+b=1$

sujeito a usando a Lei Walras. Basicamente, para otimizar a utilidade, todo o dinheiro será gasto.$p_1x_1 + p_2x_2 = w$

As funções Cobb-Douglas são tipicamente difíceis para problemas de otimização. Uma transformação monotônica que preserva as propriedades ordinais da função pode ser usada.

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

Isso será usado em seu lugar. A mesma restrição orçamentária será aplicada.

As condições de Lagrange e de primeira ordem estão abaixo

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

manipular as condições de primeira ordem resultam em

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

substituindo na restrição de orçamento$p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

e

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

Usando esses resultados, podemos calcular os pacotes de consumo ideais de e para um determinado preço, combinação de riqueza.x $x_1$$x_2$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$