Externalidades - Condições de primeira ordem

Atualmente, estou lendo sozinho o livro "Microeconomia: Princípios e Análise", de Cowell. Estou lendo o capítulo sobre externalidades e encontrei um exemplo interessante:

Existem apenas duas firmas: a firma 1 é poluidora e a firma 2 é a vítima. A empresa 2 (vítima) faz uma oferta de subvenção ou suborno à empresa 1. O suborno é uma quantia condicionada à quantidade de produção que a empresa 1 gera: quanto maior a poluição, menor é o suborno; modelamos o suborno como uma função decrescente β (⋅).

O problema de otimização é

Minha pergunta é como eles chegaram a esses FOCs?

ATUALIZAÇÃO: A segunda parte dessa otimização é examinar o problema da perspectiva da empresa 1, e segue-se assim: Agora, observe o problema do ponto de vista da empresa 1. Depois que a empresa vítima fizer sua oferta de suborno condicional, A empresa 1 deve levar isso em conta. Portanto, seus lucros devem ficar assim

Isto é da FACowell - Microeconomia - Princípios e Análise p.444-445

$1$$2$

$\mathbf{q}^2$$\beta$$\mathbf{q}^2$$n$$\mathbf{q}^2=\left(q_1^2,q_2^2,\ldots,q_n^2\right)$

$(13.9)$$(13.8)$$q_i^2$$(13.8)$

$$p_1q_1^2+p_2q_2^2+\cdots+p_iq_i^2+\cdots+p_nq_n^2-\beta\left(q_1^1\right)-\mu_2\Phi^2\left(q_1^2,\ldots,q_i^2,\ldots,q_n^2 ,q_1^1\right)$$

$q_i^2$$0$

$$p_i - \mu_2 \frac{\partial\Phi^2 \left( \mathbf{q}^2,q_1^1 \right)}{\partial q_i^2} = 0$$

$\Phi^2_i$$\Phi^2$$q_i^2$

$\beta$$\beta(\cdot)$$q_1^1$$q_1^1$$\beta$$q_1^1$$\beta$$\beta$$2$$1$$1$

$\beta$

$$-1 -\mu_2\frac{\partial\Phi^2 \left( \mathbf{q}^2,q_1^1 \right)}{\partial q_1^1} \frac{dq_1^1}{d\beta}=0$$ $\frac{dq_1^1}{d\beta}<0$$\mu_2$