Os três primeiros valores que descrevem um plano 3D são realmente um vetor 3D?

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Um plano 3d é normalmente definido como a,b,c,d. a,b,cNa verdade, são as x,y,zcoordenadas de um vetor 3d, com a ddefinição da rotação do plano, algo como dados de rotação do eixo-ângulo?

Robinicks
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Respostas:

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A representação de quatro variáveis ​​de um plano são os coeficientes na igualdade

ax + by + cz = d

Isso pode ser visto como N = ( a , b , c ) sendo um vetor normal ed sendo uma distância da origem das coordenadas (em unidades do comprimento de N ), e também podemos escrever essa equação como N · P = d , onde P = ( x , y , z ).

Essa representação não permite definir uma "origem do plano" específica - os planos matemáticos não têm origem. (Entretanto, acontece que, desde N · P = d , podemos definir P = ( d | N | -2 ) N e obter um ponto específico no plano: o ponto mais próximo da origem do sistema de coordenadas .)

Se você alterar = para <ou>, descreve um "meio espaço", que pode ser usado para coisas como um piso infinito em um mecanismo de física; o meio espaço oposto é obtido negando N e d .

Kevin Reid
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Boa resposta. Apenas uma correção: d é mais parecido com uma distância ao quadrado (a menos que (a, b, c) tenha o comprimento 1, o que geralmente é o caso, mas não é garantido).
sam hocevar 21/09/12
@SamHocevar Squared? Tudo isso é linear. Eu acho que você está pensando o que eu formulada como que d está em unidades de N .
Kevin Reid
oh, está tudo bem então, desculpe!
sam hocevar 21/09/12
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"Normalmente" é uma palavra bastante subjetiva, na minha experiência, há uma maneira diferente de descrever um plano em um espaço 3D que é mais comum devido às propriedades que essas construções mostram.

Sobre sua pergunta, é possível usar 4 valores reais para determinar um plano em um espaço 3D. Como você apontou, a, b, c podem ser os componentes de um vetor que é perpendicular ao plano desejado. Se N = (a, b, c) é o nosso vetor perpendicular, você pode encontrar um ponto em seu plano que é P = d N para alguns d reais e positivos. Aqui você diz que d é a distância da origem no termo de N ; se N é um vetor unitário, d é a distância entre a origem e o seu plano da maneira que o termo "distância" é comumente usado .

Surpreendentemente, você pode definir qualquer possível plano de orientação , pois pode usar valores negativos de d ; fazendo isso, você perde o significado direto de d como distância até colocá-lo em um valor absoluto ( | d | ).

FxIII
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"Normalmente" é uma palavra subjetiva. "Tipicamente" não é uma palavra de qualquer tipo. (Desculpe por picuinhas, mas eu não pude resistir desde que você chegou e enfatizou ele.)
Ilmari Karonen
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Tanto quanto eu sei, um plano é geralmente definido por uma posição, por nos dizer onde está a origem, e um normal apontando para cima do avião para nos dizer qual orientação temos. É prática comum usar dois vetores para isso.

Com quatro variáveis, você não tem variáveis ​​suficientes para definir um plano que não tem uma origem em (0,0,0) ou que não possui variáveis ​​suficientes para contabilizar todas as rotações.

O mínimo que precisaríamos para um plano no espaço euclidiano 3D com uma origem que não esteja em (0,0,0) e possa ser orientado da maneira que queremos é 5. Imagine a esfera unitária, precisamos de 3 variáveis ​​para definir onde a origem da esfera unitária é (X, Y, Z). Então precisamos de duas variáveis ​​para definir onde está o 'up' do plano. Podemos fazer isso usando o vetor descrito indo da origem da esfera em direção à sua superfície, dada a latitude e longitude.

Como você reconstruiria um plano com apenas quatro variáveis, não sei. Talvez você esteja trabalhando em um domínio estreito (o plano está sempre em (0,0,0) e as quatro variáveis ​​são um quaternion?) Ou as variáveis ​​não são escalares? Em que contexto você está usando isso a, b, c, d?

Roy T.
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Um plano é geralmente definido como normal / distância ou os quatro escalares (que é basicamente a mesma coisa). Não há nenhum ponto, porque o quarto escalar (a distância da origem) é igual a ponto (ponto, normal), que também é a maneira mais comum de interagir com aviões (verificando de que lado um ponto está / qual a distância do plano) e, portanto, deve ser o mais ideal (ninguém deseja recalcular a distância em cada teste).
precisa saber é o seguinte
Eu não fazia ideia! Ainda não vejo como você obteria todas as orientações nesse caso. Você poderia expandir seu comentário para uma resposta que beneficiaria a todos nós :). Opa, não viu a resposta de FXIII
Roy T.