Quando se trata de correção de erros, consideramos nossos estabilizadores membros do grupo Pauli. Por que o grupo Pauli é usado para isso e não, digamos, o grupo de todas as matrizes unitárias?
Existem algumas razões bastante simples - além do meramente histórico - para usar matrizes de Pauli em vez de matrizes unitárias arbitrárias. Esses motivos podem não destacar exclusivamente o grupo de operadores Pauli, mas limitam significativamente o escopo do que é produtivo a considerar.
Um operador estabilizador , em primeiro lugar, deve ter um valor próprio +1; caso contrário, não há nenhum estado | ip ⟩ que 'estabiliza', no sentido de que S | ip ⟩ = | ip ⟩ . Portanto, devemos nos restringir a conjuntos de operadores que possuem valores próprios +1.
Em segundo lugar, devemos considerar como os operadores do estabilizador podem ser utilizados operacionalmente. Se sabemos que existe uma simetria do sistema que deve se manter, mas não temos como determinar se essa simetria é válida ou não na prática (ou seja, se ocorreu algum erro), então estamos sem recursos. sorte. O que gostaríamos de poder fazer então é poder realizar estimativas de fase para testar se o autovalor de um determinado estado deve ou não com relação a algum operador supostamente de estabilização S é de fato um, para determinar se | ip ⟩ desvia as propriedades que possuem dela.
Isso motiva a considerar os operadores que, sim, são unitários, mas também onde os autovalores diferem significativamente um do outro, para que a estimativa de fase possa distinguir facilmente um estado com erro significativo daquele com erro insignificante. Isso motiva a consideração de um conjunto de operadores de n- qubit que têm no máximo 1 / p o l y ( n ) autovalores.
Parte de todo o problema é que gostaríamos de detectar e corrigir operações que possam estar envolvidas em transformações quânticas complicadas. Se a estimativa de fase envolvida na estimativa de autovalor de um operador estabilizador é complicada, não estamos ajudando a situação.
O que seria bom para cada um dos operadores estabilizadores que consideramos ter uma estrutura muito simples: por exemplo, podemos estar especialmente interessados no caso de serem produtos tensores de operações de 1 ou 2 qubit. Parece sensato abordar o assunto considerando que cada operador S é um produto tensorial de operações com um único qubit.
De forma a considerar tensor operações de produto em qubits, que têm, no máximo, 1 / p o l y ( k ) valores próprios distintas, incluindo 1 - e sem impor constrangimentos incómodas em que operadores-qubit único acto que qubits - nós são mais ou menos forças para considerar operadores unitários de qubit único cujos valores próprios variam dentro de algum conjunto finito E ⊆ C (independente de k ou n ) que inclui +1.
Podemos reduzir este para o caso através da observação de que a estimativa dos valores próprios de um operador produto tensor S = S 1 ⊗ S 2 ⊗ ⋯ ⊗ S k , em que cada S j tem um valor próprio e um um valor próprio que não é +1 é o mesmo que fazer uma versão artificialmente reduzida da estimativa de valor próprio para um operador P j que possui valores próprios ± 1 . Além disso, para considerar vários operadores Sque conseguem ter um espaço próprio +1 comum útil, ajuda a cada operador S a ter o maior espaço possível +1; então, ajuda a ser o mais fácil possível para os valores próprios de cada se multiplicarem para +1. Isso novamente motiva o caso para os autovalores de S j serem ± 1 .
Nada nos obriga a considerar o grupo de operadores gerado por esse conjunto, mas os produtos de nossos operadores estabilizadores também serão operadores estabilizadores, e temos restrições suficientes em nossos operadores para que possamos pelo menos razoavelmente contemplar o grupo gerado por nossos operadores estabilizadores. .
Temos operadores e S ' = S ' 1 ⊗ ⋯ ⊗ S ' n cujos factores tensor são todos quer 1 ou não triviais reflexões sobre estados-qubit único; seus produtos S j S ′ j serão rotações em um ângulo θ determinado pelos ângulos entre as bases próprias de S j e S ′ j. Se quisermos obter uma teoria limpa e agradável, podemos querer que esses produtos dos operadores estabilizadores sejam fáceis de medir: isso motiva que seja proporcional a um operador com valores próprios ± 1 (na verdade S j S ′ j terá valores próprios ± i ), caso em que a S j e S ' j anticommute.
Assim, a combinação acima de restrições teóricas e práticas é suficiente para produzir algo que é isomórfico para o grupo Pauli. Além disso, como os operadores de Pauli têm uma teoria que é facilmente compreendida, ela levou a uma teoria frutífera da correção de erros quânticos.
Uma pergunta justa seria qual dos movimentos acima foi mais arbitrário que os outros.
Não me surpreenderia se houvesse uma teoria produtiva de correção de erros, na qual as restrições fossem operadores de produtos tensores, cujos fatores tensores apresentavam valores próprios , mas onde os possíveis operadores não eram necessariamente anticomutadores (etapa 5 acima).
Mais sofisticada (e mais difícil) seria uma teoria poderosa e útil da correção de erros, na qual os operadores estabilizadores que se medem incluíam operadores que não são operadores de produtos tensores (etapa 3 - que motivaria a não se preocupar muito em ter estrutura de grupo no grupo). grupo de estabilizadores que você pretende medir).
De uma perspectiva puramente matemática, não há nada óbvio para impedir ou desencorajar tal linha de investigação - além, é claro, do fato de ser provável que seja difícil e também desnecessário - e, nesse sentido, seria perfeitamente É bom considerar as teorias da correção quântica de erros que se estendem muito além do grupo Pauli.
Qualquer operador do grupo Pauli possui dois espaços próprios de tamanho igual. Então, sabíamos que, ao adicionar um gerador estabilizador desse grupo, reduzimos pela metade o tamanho do espaço do estabilizador. Isso significa que o espaço do estabilizador caberia um qubit a menos lógico. Isso facilita saber quando temos estabilizadores suficientes: para armazenar qubits lógicos em n qubits físicos, precisamos apenas de n - k geradores de estabilizadores independentes.
Além disso, o grupo Pauli é formado por operadores hermitianos. Como o ponto de um estabilizador deve ser medido, é útil que sejam hermitianos, pois podem ser interpretados diretamente como observáveis.
, e vice versa".
Paulis não são necessários, mas eles têm boas propriedades. É por isso que eles são o foco