Prova de uma desigualdade de informação em Holevo

Suponhamos que tem um canal clássica-clássico-quântico $W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$ , em que $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ são conjuntos finitos e $\mathcal{D}(\mathcal{H})$ é o conjunto de matrizes de densidade nas finito dimensional, complexo espaço de Hilbert $\mathcal{H}$ .

Suponhamos que $p_x$ é a distribuição uniforme em $\mathcal{X}$ e $p_y$ é a distribuição uniforme em $\mathcal{Y}$ . Além disso, para definir as distribuições $p_1$ em $\mathcal{X}$ e $p_2$ em $\mathcal{Y}$ , a informação Holevo

$$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$$

onde $H$ é a entropia de von Neumann.

Gostaria de mostrar, para

$$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$$ que, $$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$$

Até agora, ainda não estou convencido de que a afirmação seja verdadeira em primeiro lugar. Não fiz muito progresso para provar isso, mas parece que algum tipo de desigualdade de triângulo poderia verificar a afirmação.

Obrigado por qualquer sugestão sobre se a declaração deve ser mantida e dicas sobre como prová-la.

$X = Y = \{0,1\}$$\mathcal{H}$$W$

$$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$$ $p_y$$p_1$$p_1(0) = 1$$p_1(1) = 0$$\chi(p_1,p_y,W) = 1$$p_1$$p_2$$p_x$$p_2(0) = 1$$p_2(1) = 0$$\chi(p_1,p_2,W) = 0$