É permitido atuar com um mapa positivo em um estado que não faz parte de um sistema maior?

Nos comentários de uma pergunta que fiz recentemente, há uma discussão entre user1271772 e eu sobre operadores positivos.

Eu sei que, para um operador positivo de preservação de traços (por exemplo, transposição parcial), se estiver agindo em um estado misto , embora seja uma matriz de densidade válida, ele absorve a matriz de densidade do sistema. emaranhado para - portanto, este não é um operador válido. $\Lambda$ $\rho$ $\Lambda(\rho)$

Este e os comentários de user1271772, no entanto, me fizeram pensar. agindo em um estado que não faz parte de um sistema maior de fato fornece uma matriz de densidade válida e não há um sistema emaranhado associado para estragar tudo. $\Lambda$

Minha pergunta é, portanto: é permitida uma operação desse tipo (isto é, a ação de um mapa positivo em um estado que não faz parte de um sistema maior). Se não, por que não? E se sim, é verdade que qualquer mapa positivo pode ser estendido para um mapa completamente positivo (talvez não trivialmente)?

quantum-gate quantum-state quantum-information quantum-channel quantum-operation Espaguetificação quântica
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Em relação à última sentença da pergunta, pode ser útil observar que qualquer mapa linear de matrizes quadradas para matrizes quadradas, independentemente de ser positivo ou completamente positivo, é determinado exclusivamente por sua ação em matrizes de densidade de estado puro (simplesmente porque matrizes de densidade de estado puro ocupam o espaço de todas as matrizes). Portanto, não há como "estender" esse mapa para torná-lo completamente positivo sem alterar sua ação em estados puros.

Λ

$\Lambda$

John Watrous

Por que a transposição parcial atuando em um estado puro forneceria uma matriz de densidade válida? Ou você quer dizer apenas "agir em um estado que não faz parte de um sistema maior"? (O primeiro não parece fazer sentido - qualquer mapa será "mais positiva" em estados mistos do que em estados puros Este último é simplesmente chamado de "mapa positiva"..)

Norbert Schuch

@ NorbertSchuch, quero dizer "agir em um estado que não faz parte de um sistema maior" - isso não é o mesmo que um estado puro?

Espaguetificação quântica

@Quantumspaghettification No. (Bem, é um pouco uma questão de crença, mas a maneira como é formulada é altamente enganadora no que diz respeito à linguagem usual. Eu tive que ler várias vezes para adivinhar o que você quis dizer. reformule-o de acordo.

Norbert Schuch

@Quantumspaghettification: Um estado puro. Caso contrário (ou seja, a classificação de é ): estado misto. Em qualquer um deles, a transposição produz um positivo . Somente se aplicarmos a um estado maior (seja puro ou misto), obteremos um estado não-positivo.

ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$

ρ

$\rho$

> 1

$>1$

Λ (ρ)

$\Lambda(\rho)$

Λ \otimes I

$\Lambda\otimes I$

Norbert Schuch

Respostas:

Qualquer mapa que não seja Completamente Positivo, Preservação de Rastreio (CPTP), não é possível como uma "operação permitida" (uma descrição mais ou menos completa de como um sistema se transforma) na mecânica quântica, independentemente dos estados para os quais ele se destina. agir de acordo com.

A restrição de mapas serem CPTP vem da própria física. As transformações físicas em sistemas fechados são unitárias, como resultado da equação de Schrödinger. Se permitirmos a possibilidade de introduzir sistemas auxiliares, ou ignorar / perder sistemas auxiliares, obteremos um mapa CPTP mais geral, expresso em termos de uma dilatação de Stinespring. Além disso, devemos considerar mapas que podem ocorrer apenas com uma probabilidade significativa de falha (como na pós-seleção). Talvez essa seja uma maneira de descrever uma "extensão" de mapas não-CPTP para mapas de CPTP - projetando-os para que possam ser descritos como algo provocativo com alguma probabilidade e algo desinteressante com probabilidade possivelmente maior;

Em um nível mais alto - embora possamos considerar o emaranhamento um fenômeno estranho e, de alguma forma, especial à mecânica quântica, as leis da própria mecânica quântica não fazem distinções entre estados emaranhados e estados do produto. Não há sentido em que a mecânica quântica seja delicada ou sensível à mera presença de correlações não-locais (que são correlações em coisas que nóspreocupam), o que tornaria impossível alguma transformação em estados emaranhados, simplesmente porque poderia produzir um resultado embaraçoso. Um processo é impossível - e, em particular, não é possível em estados de produtos - ou é possível, e qualquer constrangimento sobre o resultado de estados emaranhados é nosso, devido à dificuldade de entender o que aconteceu. O que é especial sobre o emaranhamento é o modo como ele desafia nossos preconceitos de motivação clássica, não o modo como os próprios estados emaranhados evoluem com o tempo.

Niel de Beaudrap
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Que lei da física exige que os subsistemas do universo evoluam dessa maneira? Se apenas assumirmos que o universo evolui de acordo com a equação de Schroedinger, podemos provar que todos os subsistemas devem evoluir de uma maneira CPTP? Eu nunca vi essa prova, e outros concordam: sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960105005748 . Fiz a pergunta aqui: quantumcomputing.stackexchange.com/questions/2073/… .

User1271772

Depois de mais leitura, encontrei um contra-exemplo à sua alegação de que a dinâmica deve ser CPTP. Quando a matriz de densidade inicial é dada pela Eq. 6 de sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960105005748 , e o hamiltoniano é dado no mesmo parágrafo, leva a uma matriz de densidade "total" onde a matriz de densidade do subsistema nem é positivo. A idéia principal é que o sistema e seu banho sejam emaranhados mesmo no momento . Eu acredito que você não deve assumir nenhum emaranhamento entre sistema e banho em para forçar o CPTP no caminho de Choi ou no de Alicki.

e^{- i H t} ρ e^{i H t}

$e^{-iHt}\rho e^{iHt}$

t = 0

$t=0$

t = 0

$t=0$

User1271772 17/0518

@ user1261772: se você não tem permissão para assumir nenhum emaranhado entre o sistema e o banho, em que sentido é significativo considerar um mapa apenas no sistema? O emaranhamento pré-existente faz um absurdo da idéia de que estamos tentando fornecer um "relato mais ou menos completo" de como o sistema evolui. E - finalmente - se o operador do subsistema nem sequer é positivo, como interpretamos a possibilidade de obter probabilidades negativas (ou probabilidades supernormalizadas) de alguns dos eigenstates?

Niel de Beaudrap 17/05/19

"talvez seja uma maneira de descrever uma" extensão "de mapas não-CPTP para mapas de CPTP - projetando-os para que possam ser descritos como algo provocativo com alguma probabilidade e algo desinteressante com probabilidade possivelmente maior" - você tem algum exemplo disso? Parece-me que isso com alguma probabilidade produziria um resultado que não é positivo, que não pode ser.

Norbert Schuch

e^{- i H t} ρ e^{i H t}

$e^{-iHt}\rho e^{iHt}$

A situação de mapas não completamente positivos (ou mapas geralmente não lineares) é controversa em parte devido à definição precisa de como você deve construir o mapa . Mas é fácil criar um exemplo de algo que parece ser um PCN ou mesmo não linear.

Mapa não linear.

$\rho$ $\rho$ $\rho$ $\rho\otimes\rho$

Não imagine que você também tenha a seguinte caixa preta - ela tem (até onde você sabe) uma entrada e duas saídas. Na realidade (desconhecido para você), ele tem duas entradas e duas saídas e simplesmente cospe o qubit do sistema e o qubit do ambiente. Até onde você pode ver, essa caixa preta é uma máquina de clonagem, violando a linearidade.

$\rho\otimes\rho^T$

$\rho$

Aharon Brodutch
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-3

Nenhuma lei da física afirma que devemos ser capazes de desenvolver por si só um subsistema do universo.

Não haveria maneira de testar definitivamente essa lei.

$\rm{Tr}(\rho_{\rm{universe}})\lt1$ $\rho_{\rm{universe}}$ $\rho_{\rm{universe}}<0$

$\rho_{\rm{universe}}(0)\rightarrow\rho_{\rm{universe}}(t)$

Por conveniência, gostamos de modelar sub-regiões do universo e introduzir positividade completa para isso. Mas um dia pode surgir um experimento que achamos impossível explicar ² , talvez porque tenhamos escolhido modelar o universo de uma maneira que não seja compatível com a forma como o universo realmente funciona.

$\rho_{\rm{universe}}$ $\rho_{\rm{universe}}$ os subsistemas evoluem dessa maneira, não apenas o universo como um todo.

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

2 : Na verdade, esse já é o caso, mas vamos fingir que a gravidade não existe e que a mecânica quântica (QED + QFD + QCD) está correta, e ainda achamos impossível explicar algo, apesar de ter (de alguma forma) poder mágico do computador para calcular o que quisermos instantaneamente.

user1271772
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T r ρ_{u n i v e r s e}

$Tr \rho_{universe}$

@ Ahusain: A pergunta era sobre mapas de preservação de traços, que envolvem o traço. A pergunta foi dirigida a mim. Deixe-me decidir como gostaria de responder à pergunta.

User1271772

Só queria salientar que os espaços Hilbert de dimensão finita e infinita têm algumas diferenças substanciais. Estados em diferentes tipos de álgebras de VonNeumann. Isso é tudo.

AHusain

ρ_{u n i v e r s e}

$\rho_{\rm{universe}}$

ρ_{u n i v e r s e}

$\rho_{\rm{universe}}$

Se você vai votar uma resposta que demorou uma manhã inteira (talvez de 3 a 4 horas?) Para ser escrita e formatada, não seria justo explicar o que você não gostou?

User1271772