São todos

O teorema 2 de [1] afirma:

Suponhamos que é um sub-código de auto-ortogonal de aditivo , contendo vectores, de tal modo que não há vectores de peso em . Então, qualquer espaço próprio de é um código aditivo de correção de erros quânticos com parâmetros .GF ( 4 ) n 2 n - k < d C ⊥ / C ϕ - 1 ( C ) [ [ n , k , d ] $C$$\textrm{GF}(4)^n$$2^{n-k}$$<d$$C^\perp/C$$\phi^{-1}(C)$$[[n, k, d]]$

onde aqui é o mapa entre a representação binária de operadores Pauli vezes e sua palavra-código associada, e é auto- ortogonal se onde é a dupla de . n $\phi: \mathbb{Z}_2^{2n} \rightarrow \textrm{GF}(4)^n$$n$$C$C ⊥$C \subseteq C^\perp$$C^\perp$$C$

Isso nos diz que cada código clássico auto-ortogonal clássico representa um código quântico . [ [ n , k , d ] $\textrm{GF}(4)^n$$[[n, k, d]]$

Minha pergunta é se o inverso também é verdadeiro, ou seja: todo código quântico é representado por um código clássico auto-ortogonal clássico auto-ortogonal ?GF ( 4 ) $[[n, k, d]]$$\textrm{GF}(4)^n$

Ou equivalente: existem códigos quânticos que não são representados por um código clássico auto-ortogonal clássico?GF ( 4 ) $[[n, k, d]]$$\textrm{GF}(4)^n$

[1]: Calderbank, A. Robert, et al. "Correção de erro quântico via códigos sobre GF (4)." IEEE Transactions on Information Theory 44.4 (1998): 1369-1387.

A restrição auto-ortogonal aditiva nos códigos clássicos para criar códigos quânticos do estabilizador é necessária devido ao fato de que os geradores do estabilizador devem comutar entre eles para criar um espaço de código válido. Ao criar códigos quânticos a partir de códigos clássicos, a relação de comutação para os estabilizadores é equivalente a ter um código clássico auto-ortogonal.

No entanto, códigos quânticos pode ser construído a partir de códigos clássicos não auto-ortogonal mais $GF(4)^n$ por meio de emaranhamento-assistência. Nestas construções, um código clássico arbitrário é selecionado e, adicionando alguns pares de Bell no sistema de qubit, é obtida a comutação entre os estabilizadores.

Este paradigma auxiliado pelo emaranhamento para a construção de QECCs a partir de qualquer código clássico é apresentado na arXiv: 1610.04013 , baseado no artigo "Corrigindo erros quânticos com emaranhamento" publicado na Science por Brun, Devetak e Hsieh.

Sua pergunta pode, em partes, ser vista como um problema notacional.

A notação $[[n,k,d]]_D$ é frequentemente (mas nem sempre) reservada para códigos é do tipo estabilizador. Como mostra o artigo de Calderbank et al., Os códigos estabilizadores de qubit são equivalentes aos códigos clássicos auto-ortogonais GF (4) ^ n aditivos. Essa construção é generalizada, consulte refs. Ketkar et al. e Ashikhmin e Knill . Aqui, a dimensão do código é $D^k$ para quDits.

$((n,K,d))_D$$K$$K$$D$

$((5,6,2))$$[[5,2,2]]$$2^2 = 4 < 6$