Significado das operações de Clifford da perspectiva da correção de erros quânticos

Na literatura sobre QECC, os portões de Clifford ocupam um status elevado.

Considere os seguintes exemplos que atestam isso:

• Ao estudar os códigos do estabilizador, você estuda separadamente como executar portões de Clifford codificados (mesmo que não sejam aplicáveis ​​transversalmente). Todo o material introdutório no QECC enfatiza a execução de operações codificadas de Clifford em códigos quânticos. Além disso, enfatize os portões de Clifford (ou seja, mesmo quando não estiver executando portões de Clifford codificados em códigos quânticos).

• Todo o tópico da destilação no estado mágico * baseia-se na classificação de certas operações (incluindo o desempenho dos portões de Clifford) como operações de baixo custo, enquanto, por exemplo, executa o portão de toffoli ou a porta , como maior operações de custo.$\pi/8$

Possíveis respostas:

1. Isso foi justificado em certos lugares da literatura, por exemplo, na dissertação de doutorado de Gottesman e em muitos trabalhos dele, e também em https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403025 . A razão apresentada nesses locais é que é possível executar alguns portões de Clifford transversalmente (uma operação prototípica tolerante a falhas) em certos códigos do estabilizador. Por outro lado, não é fácil encontrar uma aplicação transversal de portas que não sejam de Clifford em códigos quânticos. Eu mesmo não verifiquei isso, mas estou apenas seguindo as afirmações que Gottesman faz em seu doutorado. dissertação e alguns artigos de revisão.

Não ser capaz de executar um portão codificado transversalmente em um código quântico aumenta imediatamente o custo de executar o referido portão no código. E, portanto, a execução dos portões de Clifford entra na categoria de baixo custo, enquanto os portões que não são de Clifford entram na categoria de alto custo.

2. Do ponto de vista da engenharia, é importante decidir sobre uma lista padronizada de unidades básicas de computação quântica (preparação do estado, portões, observáveis ​​/ medidas de medição), etc. (a maioria dos conjuntos bem conhecidos de portões quânticos universais inclui muitos portões de Clifford, teorema de Gottesman-Knill **, etc).

Essas são as duas únicas razões pelas quais pude pensar por que o grupo Clifford tem um status tão elevado no estudo do QECC (principalmente quando você está estudando códigos de estabilizadores). Ambas as razões decorrem de uma perspectiva de engenharia.

Portanto, a questão é: podemos identificar outras razões, que não resultam de uma perspectiva de engenharia? Existe algum outro papel importante que os portões de Clifford desempenham, que eu perdi?

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* Sinta-se livre para corrigir isso. ** Que afirma que restrito a certas operações, você não pode obter a vantagem quântica e, portanto, precisa de um pouco mais do que o conjunto de operações ao qual inicialmente se restringiu.

As operações de Clifford costumam ser fáceis de tolerar a falhas nos códigos do estabilizador, transversalmente ou por deformação do código. O motivo é exatamente o que você pensava: a relação especial entre esses portões e os Paulis, já que os últimos são usados ​​para definir códigos estabilizadores.

É possível obter códigos que não sejam de Clifford, mas é necessário pagar um preço. Especificamente, existe uma relação entre a localização geométrica dos códigos e os portões que eles podem fazer transversalmente. Portanto, se você tiver permissão para fazer apenas portões controlados vizinhos mais próximos em uma treliça 2D (como uma superfície ou código de cores), apenas Cliffords será possível. Veja artigos como este para mais informações.

O fato de que podemos esperar Cliffords tolerantes a falhas a partir de códigos estabilizadores foi posteriormente colocado no centro das técnicas para sintetizar conjuntos de portas universais. Portanto, se existe uma maneira de criar um estado codificado não estabilizador de maneira não tolerante a falhas, sabemos como limpá-lo usando nosso Clifford lógico. Para transformar esses estados em rotações, usamos nossos Cliffords lógicos. Portanto, se você tem um código e deseja aplicar todos esses resultados disponíveis, é melhor encontrar seus Cliffords tolerantes a falhas. Ou pelo menos o Paulis, H e um CZ ou CNOT, se você não puder gerenciar todos eles.