Maneira compacta de descrever o conjunto de todos os grupos estabilizadores para número fixo de qubits físicos e qubits lógicos codificados

Corrija $n$ , o número de qubits , o número de qubits lógicos codificados. Podemos encontrar um conjunto de operadores que todos mutuamente comutar e, além disso, formam um grupo . Vamos supor que o grupo seja um subgrupo do grupo Pauli. Podemos usar esses operadores para corrigir um espaço vetorial .$k$$(n-k)$$S$$S$$2^{n-k}$

Agora considere todos os grupos estabilizadores formados dessa maneira, codificando qubits em , e considere o conjunto , em que é um específico grupo estabilizador que estabiliza algum espaço vetorial dimensional . Como parametrizar explicitamente esse conjunto? Por exemplo: para e , poderíamos ter e e assim por diante para outros grupos estabilizadores distintos.$S_i$$k$$n$$\mathcal{S}= \{S_i \, \vert\, i=1 \ldots N\}$$S_i$$2^{n-k}$$n=3$$k=1$$S_1 = \langle Z_1Z_2, Z_2 Z_3\rangle$$S_2 = \langle X_1X_2, X_2 X_3\rangle$

Uma maneira possível de uma solução é considerar a matriz de verificação de paridade para um específico e, em seguida, perguntar que ação de grupo poderíamos definir na matriz de verificação de paridade de S_i para produzir a matriz de verificação de paridade para qualquer outro grupo estabilizador da mesma cardinalidade . Mas não sei como esse grupo atuaria no grupo estabilizador. No meu exemplo para (n, k) = (3,1) acima, por exemplo, eu posso alterar S_1 para S_2 conjugando com um Hadamard, e acho que isso corresponde a uma multiplicação correta de algumas matrizes 2n \ times 2n na matriz de verificação de paridade.S i ( n , k ) = ( 3 , 1 ) S 1 S 2 2 n × 2 $S_i$$S_i$$(n,k) = (3,1)$$S_1$$S_2$$2n \times 2n$

Por causa desse exemplo, sou tentado a pensar que o que eu preciso é de conjugação de todo o grupo Clifford ou de um subgrupo dele para atuar por conjugação do , e que corresponderá a uma matriz simplética atuando nas matrizes de verificação de paridade. Nesse caso, o conjunto é parametrizado fixando um grupo estabilizador específico e atuando sobre ele por conjugação por uma representação unitária do grupo ou subgrupo Clifford. Está perto? ( 2 n × 2 n ) S S $S_i$$(2n \times 2n)$$\mathcal{S}$$S_i$

Há boas e más notícias. A boa notícia é que suas intuições são essencialmente corretas e que existe uma ação desse grupo por meio do grupo Clifford. A má notícia é que, dependendo do que você deseja com essa parametrização, pode não ser tão útil quanto você espera. $\def\ket#1{\lvert #1 \rangle}$

As boas notícias primeiro - todo grupo estabilizador Pauli em qubits, com geradores independentes , pode ser mapeado para qualquer outro grupo por conjugação dos operadores do grupo Clifford. A maneira mais simples de mostrar isso é por indução em . Se , existe apenas um desses grupos estabilizadores: o grupo trivial . Para qualquer , dado um grupo estabilizador de entrada , você pode reduzir para o caso de seguindo as seguintes etapas:r = n - k r r = 0 { 1 } r > 0 S r - $n$$r = n-k$$r$$r = 0$$\{ \mathbf 1 \}$$r > 0$$S$$r-1$

• Selecione qualquer gerador de do grupo estabilizador e algum qubit no qual o atue de maneira não trivial.x r P $P_r$$x_r$$P_r$

• Encontre um operador de grupo Clifford forma que , o operador Pauli de um qubit único que atue apenas no qubit . O operador pode envolver operadores SWAP para trocar os fatores tensores pelo qubit e .C r P r C † r = Z n - r Z ( n - r ) C r x r ( n - r $C_r$$C_r P_r C_r^\dagger = Z_{n-r}$$Z$$(n-r)$$C_r$$x_r$$(n-r)$

• Determine como os outros geradores do grupo estabilizador se transformam em . Isso produz uma lista de geradores para o grupo . Porque é abeliano, a imagem de cada gerador, quer actua sobre qbit com ou . Neste último caso, produza um novo gerador multiplicando-o por . Como é um elemento de , isso gera um conjunto equivalente de geradores para o grupo.S ′ = { C r P C † $C_r$S ′ ( n - r ) 1 Z Z n - r Z n - r S $S' = \{ C_r P C_r^\dagger \,\vert\, P \in S\}$$S'$$(n-r)$$\mathbf 1$$Z$$Z_{n-r}$$Z_{n-r}$$S'$

Feito isso, você tem um grupo estabilizador para um subespaço estabilizado por . Qualquer estado nesse grupo é considerado como um produto tensorial de no qubit e algum estado nos qubits restantes. Considerando o código do estabilizador definido em todos os outros qubits, você reduziu ao caso de um grupo estabilizador em qubits e com geradores . | 0 ⟩ ( n - r ) n - 1 r - $Z_{n-r}$$\ket{0}$$(n-r)$$n-1$$r-1$

Se desempacotarmos essa prova indutiva, obteremos um procedimento recursivo para mapear qualquer código estabilizador com geradores para um circuito de Clifford que mapeie esse grupo estabilizador para o grupo específicoSe você tiver dois desses códigos e , apenas componha seus circuitos para obter um circuito que mapeie para . Existe alguma redundância, pois diferentes conjuntos de geradores do grupo estabilizador de produzirão circuitos diferentesR C Z n , r : = ⟨ Z n - r , Z n - r + 1 , ... , Z n$S$$r$$\mathcal C$

A má notícia é que, como está, tudo o que fizemos acima é para parametrizar os códigos do estabilizador por seus circuitos de codificação. Por "circuito de codificação", quero dizer apenas o circuito que assume um estado de qubit e depois codifica em um sistema de qubit, preparando qubits frescos no estado e agindo sobre eles por uma unidade apropriada. Ao reduzir um código estabilizador arbitrário com geradores para um código 'canônico' (e extremamente monótono), cujo grupo estabilizador é$k = n-r$$\ket{\psi}$$\ket{\psi}$$n$$r$$\ket{0}$$r$$\mathcal Z_{n,r}$, provamos nada mais ou menos do que um código estabilizador com um circuito de codificação Clifford. A descrição de códigos estabilizadores em termos da órbita de no grupo Clifford com bits não é mais ou menos do que descrever códigos em termos de seus circuitos de codificação. É um bom fato confiar, mas é mais um resultado básico do que um resultado profundo.$\mathcal Z_{n,r}$$n$

Se você usar outro código como o código de 'referência', estará basicamente fazendo a mesma coisa, exceto precedendo esse circuito de codificação por outro circuito de Clifford. Esse ponto de vista pode ou não ser útil para você - certamente é uma boa propriedade elementar que você deve estar ciente quando estiver discutindo códigos e estados de estabilizadores com outras pessoas menos familiarizadas com eles - mas sem impor restrições adicionais sobre o que circuitos de codificação ou representações de código nos quais você está interessado ( por exemplo,  para limitar os automorfismos dos códigos que você considera), meu palpite é que essa parametrização pode ter utilidade limitada. O ponto crucial, no final, será quais propriedades dos códigos do estabilizador você está preocupado.