Como as wavelets podem ser aplicadas ao PDE?

Gostaria de aprender como os métodos wavelet podem ser aplicados ao PDE, mas infelizmente não conheço um bom recurso para aprender sobre este tópico.

Parece que muitas introduções às wavelets se concentram na teoria da interpolação, por exemplo, na montagem de um sinal por uma superposição de preferencialmente poucas wavelets. Às vezes, os aplicativos para PDEs são mencionados, sem aprofundar esse assunto. Estou interessado em bons artigos de resumo para pessoas que viram uma WFT, mas não têm mais conhecimento sobre esse tópico. Um bom resumo também seria interessante, é claro, se você acha que isso pode ser feito.

Estou particularmente interessado em ter uma impressão de que tipo de perguntas geralmente aparecem. Por exemplo, eu sei que elementos finitos são normalmente aplicados a um PDE em um domínio delimitado com o limite de Lipschitz, que são as perguntas típicas na escolha do espaço ansatz (conforme, não conforme, geometria e combinatória), como a teoria da convergência é estabelecida ( na verdade, a teoria de Galerkin não deveria ser tão diferente para Wavelets), e tenho alguma intuição de que coisas matemáticas são viáveis ​​em implementações. A perspectiva do Wavelets for PDE de uma ave seria muito útil para mim.

As wavelets possuem boas propriedades de aproximação com várias resoluções, mas não são especialmente populares para resolver PDEs. As razões mais comumente citadas são dificuldade em impor condições de contorno, tratamento de anisotropia desalinhada, avaliação de termos não lineares e eficiência.

As wavelets foram as primeiras a obter fortes resultados de convergência para métodos totalmente adaptáveis ​​(ver Cohen, Dahmen e DeVore 2001 e 2002 ). No entanto, essa teoria crucial foi rapidamente seguida por Binev, Dahmen e DeVore (2004), que provaram um resultado semelhante para métodos adaptativos de elementos finitos, que são mais populares para problemas tradicionais de EDP em dimensões moderadas. As bases Wavelet são populares para problemas dimensionais mais altos, como métodos de tensores esparsos para PDEs estocásticos Schwab e Gittelson (2011) e esta discussão .

Operadores diferenciais têm número de condição limitado quando expressos em bases de wavelets e pré-condicionados com Jacobi (portanto, os métodos de Krylov convergem em um número constante de iterações, independentemente da resolução). Isso está relacionado aos métodos hierárquicos multigrid de Yserentant (1984), Bank, Dupont e Yserentant (1988) e outros. Observe que os métodos multigrid multiplicativos têm propriedades de convergência superiores aos métodos aditivos. Um ciclo V multigrid padrão é essencialmente equivalente ao Gauss-Seidel simétrico padrão na base wavelet com a ordem usual. Observe que essa raramente é a melhor maneira de implementar, especialmente em paralelo.

$\mathcal H$

Operadores diferenciais são relativamente mais caros para avaliar em bases de wavelets e pode ser difícil estabelecer as propriedades de conservação desejadas. Alguns autores (por exemplo , Vasilyev, Paolucci e Sen 1995) recorrem a métodos de colocação e usam estênceis de diferenças finitas para avaliar derivadas e termos não lineares. Se a expansão da wavelet for bloqueada (geralmente boa para eficiência computacional), esses métodos se tornarão muito semelhantes à AMR estruturada em bloco.

Sugiro Beylkin e Keiser (1997) como uma introdução prática para resolver PDEs com wavelets. O código MADNESS é baseado nesses métodos. Possui suporte para limites imersos (consulte Reuter, Hill e Harrison 2011 ), mas não possui uma maneira eficiente de representar camadas de limites em geometria complicada. O software é frequentemente usado para problemas de química nos quais a geometria não é uma preocupação.

Para análise numérica geral de wavelets, sugiro o livro de Cohen em 2003 . Apresenta uma estrutura de análise na qual a solução de continuum é manipulada até que você queira avaliá-la com uma precisão determinada, momento em que a base da wavelet é avaliada conforme necessário.