Soluções fortes e fracas de PDEs

A forma forte de um PDE exige que a solução desconhecida pertença a . Mas a forma fraca requer apenas que a solução desconhecida pertença a .$H^2$$H^1$

Como você reconcilia isso?

Vejamos o caso mais simples da equação de Poisson em um domínio juntamente com condições homogêneas de Dirichlet no limite de . Presumimos, por enquanto, que é tão suave quanto queremos (por exemplo, pode ser parametrizado por uma função ) - isso será importante mais tarde.

A questão agora é como interpretar o PDE puramente formal) . Normalmente, isso é respondido em termos de como interpretar a derivada , mas, para nosso propósito, é melhor focar em como interpretar a equação .$(1)$$\Delta$

1. Presume-se que o PDE mantenha apontado para cada . Para que isso faça sentido, o lado direito deve ser contínuo, caso contrário, não podemos falar sobre valores pontuais . Isso significa que as segundas derivadas (clássicas) da solução devem ser contínuas, ou seja, precisamos procurar . Uma função que satisfaz juntamente com a condição de contorno horário é chamada de solução clássica (às vezes, infelizmente, também é uma solução forte ).$(1)$x ∈ Ω f f ( x ) u u ∈ C 2 ( Ω ) u ∈ C 2 ( Ω ) ( 1 ) ( 2 )$x\in\Omega$$f$$f(x)$$u$$u\in C^2(\Omega)$
   
   $u\in C^2(\Omega)$$(1)$$(2)$

2. O requisito de que é contínuo é muito restritivo para aplicações práticas. Se apenas assumirmos manter o ponto no sentido de quase todos os (ou seja, em todos os lugares, exceto os conjuntos de Lebesgue medem zero), então podemos nos dar bem com . Isso significa que as segundas derivadas são funções em , o que faz sentido se tomarmos derivadas fracas e, portanto, procurarmos . (Lembre-se de que, para funções que não são contínuas, não podemos considerar a condição de contorno oposto. Como$f$$(1)$$x\in \Omega$$f\in L^2(\Omega)$$L^2$$u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$$u$$(2)$$\partial \Omega$tem zero medida de Lebesgue como um subconjunto de , quase sempre em todo lugar também não faz sentido.) Uma função que satisfaz quase sempre em todo lugar é chamado uma solução forte . Observe que, em geral, é necessário e não trivial mostrar que essa solução existe e é única (que é o caso do exemplo aqui).$\bar\Omega$
   
   $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$$(1)$

3. Se já estamos lidando com derivativos fracos, também podemos relaxar ainda mais as suposições sobre . Se considerarmos como uma equação abstrata de operador em , o espaço duplo de , isso faz sentido para todos os (que é um espaço maior que ). Basicamente, por definição do espaço duplo e da derivada fraca, nesse sentido é equivalente à equação variacional Uma função$f$$(1)$$H^{-1}(\Omega)$$H^1_0(\Omega)$$f\in H^{-1}(\Omega)$$L^2(\Omega)$$(1)$

   $$\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$$
   $u\in H^1_0(\Omega)$que satisfaça é chamado de solução fraca . Novamente, é geralmente necessário e não trivial mostrar que essa solução existe e é única (que é o caso do exemplo aqui).$(3)$

Agora, como as derivadas clássicas também são derivadas fracas, toda solução clássica também é uma solução forte. Da mesma forma, incorporando , toda solução forte também é uma solução fraca. As outras direções são mais sutis.$H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$

• Se tiver uma solução única, que satisfaça por (em vez de apenas ), então a solução fraca também é uma solução forte (e para também é uma solução clássica, pois, neste caso, incorpora ). Essa propriedade às vezes é chamada regularidade máxima (elíptica) e vale para a equação de Poisson, assumindo que o limite (e os dados do limite) sejam suficientemente suaves. (É aqui que entra a suposição acima.)$(3)$$u\in H^2(\Omega)$$f\in L^2(\Omega)$$H^{-1}(\Omega)$$n=2$$H^2(\Omega)$$C(\bar\Omega)$∂ Ω$\partial\Omega$

• Caso contrário, pode acontecer mesmo para que o PDE tenha uma solução fraca, mas não uma solução forte.$f\in L^2(\Omega)$

• Se a regularidade máxima não se mantiver, também pode acontecer que o PDE tenha uma solução forte única (que também é uma solução fraca), mas não uma solução fraca única. Isso significa que existem muitas soluções fracas em, por exemplo, , mas apenas uma delas também está em e, portanto, uma solução forte. (Os exemplos reais requerem espaços mais complicados; veja, por exemplo, Meyer, Christian; Panizzi, Lucia; Schiela, Anton , Critérios de exclusividade para a equação adjunta no controle ótimo elíptico com restrição de estado , Numer. Funct. Anal. Optim. 32. 9, 983-1007 (2011) ZBL1230.35041 ou equações não-lineares mais complicadas; consulte, por exemplo, http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/$H^1_0(\Omega)$$H^2(\Omega)$.)