Transformada de Fourier para a condição de contorno de Neumann

Eu preciso resolver numericamente o sistema de duas equações diferenciais parciais acopladas.

\begin{aligned} \frac{\partial x_{1}}{\partial t} & = c_{1} \nabla^{2} x_{1} + f_{1} (x_{1}, x_{2}) \\ \frac{\partial x_{2}}{\partial t} & = c_{2} \nabla^{2} x_{2} + K \frac{\partial x_{1}}{\partial t} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial x_1}{\partial t} &= c_1\nabla ^2 x_1 + f_1(x_1,x_2)\\ \frac{\partial x_2}{\partial t} &= c_2\nabla ^2 x_2 + K\frac{\partial x_1}{\partial t} \end{align}$

O domínio do sistema é uma região quadrada.

Condição de contorno:

\begin{aligned} x & = constant ⟹ \frac{\partial x_{1}}{\partial x} = \frac{\partial x_{2}}{\partial x} = 0 \\ y & = constant ⟹ \frac{\partial x_{1}}{\partial y} = \frac{\partial x_{2}}{\partial y} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} x &= \text{constant} \implies \frac{\partial x_1}{\partial x} = \frac{\partial x_2}{\partial x} = 0\\ y &= \text{constant} \implies \frac{\partial x_1}{\partial y} = \frac{\partial x_2}{\partial y} = 0 \end{align}$

Tentei resolver esse sistema com a transformada de Fourier. A solução se torna instável após algumas iterações. Eu resolvi esse sistema anteriormente com um esquema de diferenças finitas e funcionou bem, então eu sei que as constantes do sistema são perfeitamente boas.

Minha pergunta é: a transformada de Fourier pode ser usada para resolver essas equações?
Li em algum lugar que, devido à condição de fronteira de Neumann, não se pode aplicar a transformada de Fourier. Isso está correto?
Se sim, o que é alternativa? (Eu li que a transformação de cosseno deve ser usada, mas deseja confirmar).

pde fourier-analysis Chatur
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f_{1} (x_{1}, x_{2})

$f_1(x_1,x_2)$

f_{1}

$f_1$

f_{1} (x_{1}, x_{2}) = P (x_{1}) a r c t a n (x_{2})

$f_1(x_1,x_2) = P(x_1)arctan(x_2)$

f_{1}

$f_1$

P

$P$

@ aberration, Obrigado pelo comentário, mas não entendo o que isso significa. Provavelmente eu deveria estudar a FFT mais detalhadamente. Mas, se estou solucionando o sistema, todas as alterações são limitadas apenas à parte central (aproximadamente), para que os valores no limite não sejam afetados, posso usar a FFT aqui?

chatur 11/09/12

f_{1}

$f_1$

A FFT pode ser usada para condições de contorno periódicas. Como as condições de contorno de von Neumann são efetivamente "espelhadas", você deve fazer uma "continuação espelhada" para poder aplicar uma FFT. Uma desvantagem dessa abordagem é que você aumentará o volume de dados por um fator 4 (o que não é importante se você estiver interessado apenas em experimentar um pouco). O uso da transformação de cosseno implica implicitamente a "continuação espelhada" e evita a sobrecarga do fator 4.

Observe que, dependendo de onde os pontos da grade próximos ao limite estão localizados, há duas maneiras diferentes de fazer uma "continuação espelhada discreta". Portanto, você encontrará que bibliotecas como FFTW oferecem diferentes variantes da transformação de cosseno (correspondendo a essas diferentes "continuações espelhadas discretas").

Thomas Klimpel
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Transformada de Fourier para a condição de contorno de Neumann

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