O princípio máximo / mínimo da equação do calor é mantido pela discretização de Crank-Nicolson?

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Estou usando o esquema de diferenças finitas da Crank-Nicolson para resolver uma equação de calor 1D. Gostaria de saber se o princípio máximo / mínimo da equação do calor (ou seja, que o máximo / mínimo ocorre na condição inicial ou nos limites) também vale para a solução discretizada.

Isso provavelmente está implícito no fato de o Crank-Nicolson ser um esquema estável e convergente. Mas parece que você pode provar isso diretamente por meio de um argumento de álgebra linear usando as matrizes criadas a partir do estêncil Crank-Nicolson.

Eu apreciaria qualquer indicação para a literatura sobre isso. Obrigado.

foobarbaz
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Oi foobarbaz, e bem-vindo ao scicomp! Presumo que o problema que você está resolvendo não tenha termos de origem, correto?
Paul

Respostas:

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O princípio máximo para a Crank-Nicolson se manterá se para timestepke espaçamento da gradeh. Em geral, podemos considerar umesquema-θda forma un+1=un+μ

μkh21 1
khθ ondeAé a matriz laplaciana padrão e0θ1. Seμ(1-2θ)1
vocên+1 1=vocên+μ2((1 1-θ)UMAvocên+θUMAvocên+1 1)
UMA0 0θ1 1 , então o esquema é estável. (Isso pode ser facilmente demonstrado pelas técnicas de Fourier.) No entanto, o critério mais forte de queμ(1-θ)1μ(1 1-2θ)1 12 é necessário para que o princípio máximo seja mantido em geral.μ(1 1-θ)1 12

Para uma prova, consulte Soluções numéricas de equações diferenciais parciais de KW Morton . Em particular, veja as Seções 2.10 e 2.11 e o Teorema 2.2.


Também há uma boa maneira de ver que o princípio máximo não se aplica em geral à Crank-Nicolson sem uma restrição de .μ

Considere a equação do calor em com uma discretização contendo 3 pontos, incluindo o limite. Vamos u k i denota a discretização no instante temporal k e ponto de grade i . Assuma o limite de Dirichlet, de modo que u k 0 = u k 2 = 0 para todos os k . Então Crank-Nicolson reduz para ( 1 - μ[0 0,1 1]vocêEukkEuvocê0 0k=você2k=0 0k que pode ser ainda mais reduzido a u n + 1 1 =(1-μ

(1 1-μ2(-2))você1 1n+1 1=(1 1+μ2(-2))você1 1n,
você1 1n+1 1=(1 1-μ1 1+μ)você1 1n.

Se considerarmos a condição inicial de , então temos u n 1 = ( 1 - μvocê1 10 0=1 1

você1 1n=(1 1-μ1 1+μ)n,
você1 1n1 1você1 1n<0 0nμ1 1μ1 1μ

Em resposta à solicitação de foobarbaz, adicionei um esboço da prova.

(1 1+2θμ)vocêjn+1 1=θμ(vocêj-1 1n+1 1+vocêj+1 1n+1 1)+(1 1-θ)μ(vocêj-1 1n+vocêj+1 1n)+[1 1-2(1 1-θ)μ]vocêjn

μ(1 1-θ)1 12

vocêjn+1 1vocêj-1 1n+1 1vocêj+1 1n+1 1vocêj-1 1nvocêj+1 1nvocêjnvocêjn+1 1vocêjn+1 1

(1 1+2θμ)vocêjn+1 1>θμ(vocêj-1 1n+1 1+vocêj+1 1n+1 1)+(1 1-θ)μ(vocêj-1 1n+vocêj+1 1n)+[1 1-2(1 1-θ)μ]vocêjn=(1 1+2θμ)vocêjn+1 1

vocêjn+1 1você

Ben
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Obrigado! Você conhece outra referência além de Morton? Não consigo acessar essas seções ou o teorema na visualização de livros do Google. Eu gostaria de entender a prova.
Foobarbaz
@foobarbaz Não tenho outra referência à mão, mas adicionei um esboço da prova. Deixe-me saber se posso torná-lo mais claro.
Ben
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Estabilidade significa que uma perturbação permanece limitada no tempo. Isso não significa que o princípio máximo seja satisfeito em um nível discreto; isso é uma questão diferente. A satisfação do princípio máximo discreto é suficiente, mas não é necessária para a estabilidade.

chris
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