O princípio máximo / mínimo da equação do calor é mantido pela discretização de Crank-Nicolson?

Estou usando o esquema de diferenças finitas da Crank-Nicolson para resolver uma equação de calor 1D. Gostaria de saber se o princípio máximo / mínimo da equação do calor (ou seja, que o máximo / mínimo ocorre na condição inicial ou nos limites) também vale para a solução discretizada.

Isso provavelmente está implícito no fato de o Crank-Nicolson ser um esquema estável e convergente. Mas parece que você pode provar isso diretamente por meio de um argumento de álgebra linear usando as matrizes criadas a partir do estêncil Crank-Nicolson.

Eu apreciaria qualquer indicação para a literatura sobre isso. Obrigado.

O princípio máximo para a Crank-Nicolson se manterá se para timestepke espaçamento da gradeh. Em geral, podemos considerar umesquema-θda forma un+1=un+

$$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$$ $k$$h$$\theta$ ondeAé a matriz laplaciana padrão e0≤θ≤1. Seμ(1-2θ)≤ $$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$$ $A$$0 \leq \theta \leq 1$ , então o esquema é estável. (Isso pode ser facilmente demonstrado pelas técnicas de Fourier.) No entanto, o critério mais forte de queμ(1-θ)≤$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$ é necessário para que o princípio máximo seja mantido em geral.$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

Para uma prova, consulte Soluções numéricas de equações diferenciais parciais de KW Morton . Em particular, veja as Seções 2.10 e 2.11 e o Teorema 2.2.

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Também há uma boa maneira de ver que o princípio máximo não se aplica em geral à Crank-Nicolson sem uma restrição de .$\mu$

Considere a equação do calor em com uma discretização contendo 3 pontos, incluindo o limite. Vamos u k i denota a discretização no instante temporal k e ponto de grade i . Assuma o limite de Dirichlet, de modo que u k 0 = u k 2 = 0 para todos os k . Então Crank-Nicolson reduz para ( 1 - $[0,1]$$u_i^k$$k$$i$$u^k_0 = u^k_2 = 0$$k$ que pode ser ainda mais reduzido a u n + 1 1 =(1-

$$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$$ $$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$$

Se considerarmos a condição inicial de , então temos u n 1 = ( 1 - $u_1^0 = 1$

$$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$$ $u^n_1 \leq 1$$u^n_1 < 0$$n$$\mu \leq 1$$\mu \leq 1$$\mu$

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Em resposta à solicitação de foobarbaz, adicionei um esboço da prova.

$$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$$

$\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

$u^{n+1}_j$$u^{n+1}_{j-1}$$u^{n+1}_{j+1}$$u^n_{j-1}$$u^n_{j+1}$$u^n_j$$u^{n+1}_j$$u^{n+1}_j$

$$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$$

$u^{n+1}_j$$u$

Estabilidade significa que uma perturbação permanece limitada no tempo. Isso não significa que o princípio máximo seja satisfeito em um nível discreto; isso é uma questão diferente. A satisfação do princípio máximo discreto é suficiente, mas não é necessária para a estabilidade.