Posso resolver esse PDE independente do tempo adicionando uma derivada do tempo e marchando no tempo?

Eu quero resolver este PDE:

Atualmente, tenho algum código que irá gerar automaticamente soluções pde para um pde muito semelhante, que inclui uma derivada de tempo (d parcial / t parcial) usando um método ADI.

Gostaria de saber se existe uma maneira de aproximar o pde anexado com um pde que inclui uma derivada de tempo?

Eu sei que existem abordagens para pdes unidimensionais. Por exemplo, no pde anexado, se você remover todos os derivados Y, o pde pode ser aproximado adicionando a derivada de tempo e multiplicando o termo de difusão por um grande número, usando etapas implícitas e usando 1 etapa.

Qualquer ajuda seria apreciada, Obrigado, Rob

$f(u)=0$$u$$\frac{dv(t)}{dt}+f(v(t))=0$$u = \lim_{t\rightarrow \infty} v(t)$

• Certamente é verdade que é uma solução estacionária da equação dependente do tempo.$v_1(t)=u$

• Mas não está claro se é uma solução estável . Isso é importante porque se você começar com , somente se for uma solução estável da equação. Em outras palavras, sem a estabilidade de , não é possível esperar que o problema dependente de pseudo tempo converja para a solução do problema original independente de tempo.$v_2(t) \neq u$$v_2(t) \rightarrow v_1(t)=u$$v_1(t)$$v_1(t)$

• É fácil ver que a estabilidade não é garantida automaticamente. Considere, por exemplo, a equação . Você pode encontrar a solução para isso resolvendo a equação do calor, . Mas se você tivesse começado com (que, é claro, tem exatamente a mesma solução), não seria possível encontrar a solução resolvendo já que essa equação geralmente não tem uma solução.$f(u)=-\Delta u-h=0$$\frac{dv(t)}{dt}-\Delta v(t)=h$$\tilde f(\tilde u)=\Delta \tilde u+h=0$$\frac{d\tilde v(t)}{dt}+\Delta \tilde v(t)=-h$