Densidade espectral de potência vs Densidade espectral de energia

Eu li o seguinte na Wikipedia :

Densidade espectral de potência:

A definição acima de densidade espectral de energia é mais adequada para transientes , isto é, sinais do tipo pulso, para os quais as transformadas de Fourier dos sinais existem . Para sinais contínuos que descrevem, por exemplo, processos físicos estacionários, faz mais sentido definir uma densidade espectral de potência (PSD), que descreve como a potência de um sinal ou série temporal é distribuída nas diferentes frequências, como no exemplo simples dado anteriormente.

Não entendo bem esse parágrafo. A primeira parte diz que " para alguns sinais. A transformação de Fourier não existe ".

Para quais sinais (no contexto que estamos discutindo) a transformada de Fourier não existe e, portanto, precisamos recorrer ao PSD em vez de usar a densidade espectral da energia?
Ao obter a densidade espectral de potência, por que não podemos computá-la diretamente? Por que precisamos estimar isso?
Finalmente, sobre este tópico, li sobre métodos que usam o Kayser-windows ao calcular o PSD ao longo do tempo. Qual é o objetivo dessas janelas na estimativa do PSD?

power-spectral-density Amelio Vazquez-Reina
fonte

Uma resposta curta para uma de suas perguntas: para um sinal determinístico

, você pode calcular sua densidade espectral de potência. No entanto, a densidade espectral de potência também é definida para processos aleatórios estacionários de sentido amplo . Nesse contexto, o PSD é definido como a transformação de Fourier da função de autocorrelação do processo. Nesse cenário, você normalmente não conhece a função exata de autocorrelação de um processo aleatório específico que pode estar observando; portanto, tenta estimar o PSD a partir de suas observações.

x (t)

$x(t)$

Jason R

x (t)

$x(t)$

lim_{T \to \infty} \int_{- T}^{T} | x (t) |^{2} d t

$\lim_{T\to \infty}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2\pi ft}\,\mathrm dt$

lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} | x (t) |^{2} d t

$\lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$

Respostas:

O processo aleatório nunca termina, fenômeno não periódico, portanto, tomar a transformação de Fourier de suas realizações não faz sentido, também não é possível. No entanto, se o processo aleatório é estacionário, é certo que ele possui algum poder finito sobre alguma banda de frequências. Agora, aqui surge a questão de como calcular o poder desse processo aleatório estacionário (a transformação de fourier não pode ser tomada diretamente)? Então o que fazer? encontramos a função de autocorrelação do processo aleatório fornecido, cuja transformação de Fourier sempre existe. Finalmente, adotamos a transformação de Fourier dessa função de autocorrelação para obter a densidade espectral de potência do processo estacionário fornecido.

Se você integrar a densidade espectral de potência de um determinado processo estacionário no intervalo de - a obterá a potência total contida no processo aleatório especificado. $\infty$ $\infty$

kaka
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Quando você disse:

"However if random process is stationary, then it is for sure that it has some finite power over some band of frequencies."

- por que isso? E precisa necessariamente ser estacionário para ter poder finito sobre alguma banda de frequências?

Amelio Vazquez-Reina

Os processos staionários sempre têm média finita e variância finita. Isso significa que o processo staionary sempre tem poder finito. Como a potência é finita, isso significa que a densidade espectral da potência do processo staionary é finita em algumas faixas de frequências. (a banda de frequência pode ser infinita).

kaka

Staionary processes have always finite mean and finite variance. It means that staionary process has always finite power.

Isto está incorreto. Veja o segundo parágrafo desta resposta para um contra-exemplo.

Dilip Sarwate