Como os filtros FIR são sempre estáveis?
Como eles contêm pólos, eles não deveriam ser mais afetados por problemas de estabilidade do que outros?
filters
finite-impulse-response
user7277
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Respostas:
Os filtros FIR contêm apenas zeros e sem pólos. Se um filtro contém pólos, é IIR. Os filtros IIR são realmente afetados por problemas de estabilidade e devem ser manuseados com cuidado.
EDITAR:
Após uma reflexão mais aprofundada, alguns rabiscos e pesquisas no google, acho que tenho uma resposta para essa questão dos pólos de FIR que, esperamos, será satisfatória para as partes interessadas.
Começando com a transformação Z de um filtro FIR aparentemente sem polo: Como é mostrado na resposta de RBJ, os pólos de FIR são revelados multiplicando o numerador e o denominador deH(z)porzN: H(z)=b0z N +b1z N - 1 +b2z N - 2 +⋯+bN
No entanto, para mostrar isso, a suposição de causalidade é colocada no filtro. De fato, se considerarmos um filtro FIR mais geral em que a causalidade não é assumida: Um número diferente de polos(N-k)aparece na origem: G(z)=b0z N +b1z N - 1 +b2z N - 2 +⋯+bN
Assim, concluo o seguinte:
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Como todos os pólos estão localizados dentro do círculo da unidade, o filtro FIR é ostensivamente estável.
provavelmente esse não é o filtro FIR em que o OP está pensando, mas há uma classe de filtros FIR chamados filtros IIR truncados (TIIR) que podem ter um pólo dentro ou fora do círculo da unidade que é cancelado por zero no mesmo local. o exemplo mais simples disso é a soma móvel ou o filtro da média móvel. mas, de uma perspectiva de E / S, esses filtros TIIR são FIR.
mas eu não garantiria ingenuamente a "estabilidade". usando a linguagem do sistema de controle, o filtro TIIR não é "completamente observável" e pode parecer estável porque sua resposta ao impulso parece finita em comprimento, mas dentro dos estados do filtro pode estar indo para o inferno e, com precisão numérica finita, essa instabilidade interna acabará aparecer na saída.
temos que nos desiludir da noção de que "os filtros FIR não têm pólos" . não é verdade.
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"Você pode mostrar matematicamente que os filtros FIR têm pólos, porque eu não estou vendo isso". - Jim Clay
podemos assumir que este FIR é causal?
a resposta de impulso finito:h [ n ] = 0∀n > N, n < 0
função de transferência do FIR:
tudo o que você precisa fazer é fatorar o numerador e saberá onde estão os zeros. mas é bastante óbvio onde todos os pólos são para um filtro FIR. e existem tantos pólos quanto a ordem do filtro FIR. note que esses polos não afetam a resposta de frequência. exceto para a fase.
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Um pouco por definição, na verdade. Como você insere energia finita e o Filtro fornece apenas um múltiplo da entrada de energia (sua resposta ao impulso possui uma energia finita), o sinal resultante terá no máximo um múltiplo da entrada de energia. Ele não pode ressoar e, assim, escalar, como os filtros IIR. Isso está por trás da resposta de Kenneides também.
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Ninguém realmente se interessou por que os pólos de um filtro FIR são removíveis, por isso tentei responder isso abaixo.
Os filtros FIR terão pólos removíveis na origem, porque a limitação de sua resposta ao impulso exige isso. Ao redor do polo, é possível definir a função para que ela ainda seja holomórfica (diferenciável em todos os pontos de seu domínio).
É um teorema de Riemann que, se um sinal é diferenciável em todos os pontos de seu domínio (exceto por muitos pontos finitos), existe uma vizinhança em torno desses pontos especiais em que a função é limitada. As implicações são bidirecionais neste teorema; portanto, como é necessário que os filtros FIR tenham uma resposta de impulso limitada, a resposta de impulso deve ser diferenciável em todos os pontos do círculo unitário. Assim, o sinal pode ser estendido de maneira consistente para que não haja singularidades (ou seja, os polos são removíveis).
É por isso que a transformação z de um filtro FIR não contém poderes negativos dez .
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