Conceitualmente, quando queremos representar uma série peroidica, por exemplo, um trem de pulsos, encontramos os coeficientes de Fourier e obtemos uma representação no domínio do tempo.
No entanto, o que há de errado em conceituar o uso, digamos, de uma soma infinita de tempo, mudou as funções retas para representá-lo?
Desculpe, tive um problema de formatação, por isso estou colocando isso no post inferior ...
Meu método é assim:
Supondo que temos um pulso periódico de tal modo que para e para ; portanto tem um período de .
Encontrar os coeficientes de Fourier Ck via:
durante 1 período e, portanto, podemos representar x (t) como:
e fazendo a transformação de Fourier, obteremos este formulário:
o que é discreto.
No entanto, se considerarmos para ser desta forma:
Aplicando transformada de Fourier de para obter (no formulário):
onde sinc () é devido ao FT de rect e e ^ (- j * W) sai devido à propriedade de mudança de tempo do FT.
Comparando X (f) em (1) e (2), vemos que 1 é discreto e o outro contínuo.
No entanto, eles vêm do mesmo x (t), então isso não é uma contradição?
Desculpe pelo longo post.
Respostas:
Não há nada conceitualmente errado nisso. As transformadas de Fourier decompõem um sinal em uma soma de sinusóides complexos, mas você também pode decompor um sinal em muitas outras coisas, o que pode ser mais útil em determinadas aplicações. A transformada wavelet de Haar, por exemplo, interrompe um sinal com a soma de pulsos retangulares:
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Usamos sinusóides em muitas aplicações, porque faz mais sentido nessas aplicações. Por exemplo, por que quase sempre decompomos sinais de áudio em sinusóides? Porque nossas cócleas fazem a mesma coisa:
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A principal razão para isso é que séries de cossenos e senos formam uma base ortogonal. Em seguida, você pode usá-lo para representá-lo em outro "espaço" (frequência "espaço", por exemplo).
Outras coisas, apenas para entender outras coisas relacionadas às séries de Fourier e Tranform:
Um seno ou cosseno é apenas 2 funções delta na representação de frequência (Transformada de Fourier). Uma função ret, tem uma representação de função de sincronização (que preenche estritamente todos os sprectra).
Então, usando a representação de Fourier em frequência, você pode interpretar facilmente quais são os componentes de frequência do seu sinal e filtrá-lo de acordo.
Outra coisa para entender melhor o uso dos coeficientes de Fourier é entender a relação entre a transformada de Fourier e esses coeficientes ( Explicação 1 , Explicação 2 ).
Usamos a série Fourier para funções periódicas e a transformada de Fourier para tudo.
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Desculpe, tive um problema de formatação, por isso estou colocando isso no post inferior.
Meu método é assim:
Supondo que temos um pulso periódicox(t) de tal modo que x(t)=1 para 0<t<T e 0 para T<t<Tp ; portantox(t) tem um período de Tp .
Encontrando os coeficientes de FourierCk através da:
e assim podemos representarx(t) Como:
e fazendo a transformação de fourier, obteremos este formulário:
o que é discreto.
No entanto, se considerarmos que x (t) seja desta forma:
Aplicando a transformação de Fourier de x (t) para obter (no formato):
onde sinc () é devido ao TF de rect e aoe(−j∗W) sai devido à propriedade de mudança de horário do FT.
ComparandoX(f) em (1) e (2), vemos que 1 é discreto e o outro contínuo.
No entanto, eles vêm do mesmox(t) , então isso não é uma contradição?
Desculpe pelo longo post.
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