Derivando transformadas discretas de Fourier em 2D

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Eu tenho um problema no DFT. Foi uma das minhas perguntas dos documentos do exame do ano passado.

Questão:

Deixei F(u,v) ser a transformada 2D de Fourier de uma função contínua 2D f(x,y). Derivar em termos deF(:,:) a transformada 2D de Fourier de cada uma das seguintes funções

1) f(x,2y)

2) f(x+2y,y)

Eu sei como fazer transformações de Fourier em 1-D, mas não em 2-D. Não sei ao certo como começar e preciso de alguma orientação.


Para a segunda parte, essa foi a minha abordagem. Entre em contato se estiver certo ou me corrija se estiver errado.

Seja portanto, x = τ-2y e dx = dτ \ begin {align}} mathfrak {F} \ {f (x + 2y, y) \} & = ∬ f (τ, y) e ^ { −j2π (u (τ-2y) + vy)} dx \ dv \\ \ mathfrak {F} \ {f (x + 2y, y) \} & = ∬ f (τ, y) e ^ {- j2π ( uτ + (- 2u + v) y)} dx \ dτ \\ \ mathfrak {F} \ {f (x + 2y, y) \} & = F (u, -2u + v) \ end {align} τ=x+2yx=τ2ydx=dτ

F{f(x+2y,y)}=f(τ,y)ej2π(u(τ2y)+vy)dx dvF{f(x+2y,y)}=f(τ,y)ej2π(uτ+(2u+v)y)dx dτF{f(x+2y,y)}=F(u,2u+v)
cnn lakshmen
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Respostas:

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Aqui está o primeiro:

Por definição,

F{f(x,2y)}=f(x,2y)ej2π(ux+vy)dxdy

let e inversamenteτ=2yy=τ2

F{f(x,2y)}=f(x,τ)ej2π(uxvτ2)dxd(τ2)

F{f(x,2y)}=12f(x,τ)ej2π(uxvτ2)dxdτ

F{f(x,2y)}=12F(u,v2)

O outro será mais difícil, mas deixarei para você.

Jason B
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seria ótimo se você fez o outro também ...
cnn lakshmen
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@cnnlakshmen Seria realmente ótimo se você tentasse fazer o outro :) Jason mostrou a maneira geral de abordar o problema, por isso não vejo razão para não dar ao outro uma tentativa honesta. Por favor, não trate isso como um lugar para respostas rápidas, mas como um lugar para aprender.
Lorem Ipsum
i tentou e ficou preso .... é por isso que ... a interrogá-lo ...
cnn lakshmen
talvez você queira nos mostrar seus passos para a segunda pergunta? Você pode simplesmente editar isso na pergunta aqui (não há necessidade de uma nova) e podemos ver onde você está preso. Saber o que você está fazendo de errado ou onde está preso nos ajudará a apontar o caminho certo, em vez de simplesmente dar a resposta; nesse caso, você nunca saberá o que não sabia e tudo permanecerá no foco principal.
11379 Lorem Ipsum
Eu atualizei a questão com a minha resposta, e eu tenho um sentimento que é errado ... por favor me ajudar a verificar ...
cnn lakshmen