Os filtros analógicos são estáveis se os polos estiverem na metade esquerda do plano s (figura à esquerda) e os filtros digitais são estáveis se os polos estiverem dentro do círculo da unidade (figura à direita). Portanto, matematicamente, tudo o que é necessário para converter de analógico para digital é um mapeamento (conforme?) Do meio espaço para o disco da unidade e o eixo ȷΩ para o círculo da unidade |z|=1 . Qualquer transformação que faça isso é um possível candidato por ser uma alternativa à transformação bilateral.
Dois dos métodos bem conhecidos são o método de invariância de impulso e o método de transformação Z correspondente . Conceitualmente, ambos são semelhantes à amostragem de uma forma de onda contínua com a qual estamos familiarizados. Denotando a transformação inversa de Laplace por e a transformação Z como , esses dois métodos envolvem o cálculo da resposta de impulso do filtro analógico comoL−1Z
a(t)=L−1{A(s)}
e amostragem em um intervalo de amostragem que seja alto o suficiente para evitar aliases. A função de transferência do filtro digital é então obtida a partir da sequência amostrada comoa(t)Ta[n]
Da(z)=Z{a[n]}
No entanto, existem diferenças importantes entre os dois.
Método de invariância de impulso:
Neste método, você expande a função de transferência analógica como frações parciais (não na transformação Z correspondente, como mencionado por Peter ), como
A(s)=∑mCms−αm
onde é uma constante e são os pólos. Matematicamente, qualquer função de transferência com um numerador de menor grau que o denominador pode ser expressa como uma soma de frações parciais . Somente filtros passa-baixo atendem a esse critério (passa-alto e passa-banda / batente de banda têm pelo menos o mesmo grau) e, portanto, o método invariante por impulso não pode ser usado para projetar outros filtros.Cmαm
A razão pela qual falha também é bastante clara. Se você tivesse um polinômio no numerador do mesmo grau que no denominador, terá um termo constante independente, que após a transformação inversa, fornecerá uma função delta que não pode ser amostrada.
Se você realizar as transformações inversas de Laplace e Z, verá que os polos serão transformados como que significa que, se o seu filtro analógico estiver estável, o filtro digital também estará estável . Por isso, preserva a estabilidade do filtro.αm→eαmT
Transformação Z correspondente
Nesse método, em vez de dividir a resposta do impulso como frações parciais, você faz uma transformação simples dos pólos e dos zeros de maneira semelhante (correspondida) como e (também preservando a estabilidade), fornecendoβm→eβmTαm→eαmT
A(s)=∏m(s−βm)∏n(s−αn)⟶∏m(1−z−1eβmT)∏n(1−z−1eαnT)
Você pode ver facilmente a limitação de ambos os métodos. A invariante de impulso é aplicável apenas se o seu filtro for passa-baixo e o método de transformação z correspondente for aplicável aos filtros de parada de banda e passa-banda (e passa-alto até a frequência de Nyquist). Na prática, eles também são limitados pela taxa de amostragem (afinal, você só pode ir até um certo ponto) e sofrem com os efeitos do alias.
A transformação bilinear é de longe o método mais utilizado na prática e os dois acima são mais para interesses acadêmicos. Quanto à conversão de volta para analógico, desculpe, mas não sei e não posso ajudar muito, pois quase nunca uso filtros analógicos.
Existem várias maneiras de fazer o mapeamento de para . A comunidade de controle tem algo a dizer sobre isso.s z
Alguns exemplos são:
A transformação Z combinada
Aqui, a função de transferência domain é escrita como uma expansão parcial de fração:s
E a conversão de cada parte da expansão da fração parcial é feita diretamente usando:
Regra de Simpson
Uma interpretação da transformação bilinear é que é uma maneira de transformar de tempo contínuo para tempo discreto por integração aproximada usando a Regra Trapezoidal .
Uma técnica mais precisa para integração aproximada usa a regra de Simpson. Se essa aproximação for usada, o mapeamento resultante será:
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