Existem alternativas para a transformação bilinear?

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Ao projetar um filtro digital baseado em um filtro analógico, geralmente usamos a transformação bilinear . Para aproximar uma função de transferência discreta da função de transferência analógica (contínua) , substituímosDa(z)A(s)

z=1+sT/21sT/2

onde é o período de amostragem. Alternativamente, para aproximar uma função de transferência contínua da função de transferência discreta , substituímosTAa(s)D(z)

s=2Tz1z+1

Existem métodos alternativos para realizar essas conversões? Existem aproximações melhores?

Phonon
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Respostas:

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Os filtros analógicos são estáveis ​​se os polos estiverem na metade esquerda do plano s (figura à esquerda) e os filtros digitais são estáveis ​​se os polos estiverem dentro do círculo da unidade (figura à direita). Portanto, matematicamente, tudo o que é necessário para converter de analógico para digital é um mapeamento (conforme?) Do meio espaço para o disco da unidade e o eixo ȷΩ para o círculo da unidade |z|=1 . Qualquer transformação que faça isso é um possível candidato por ser uma alternativa à transformação bilateral.

insira a descrição da imagem aqui

Dois dos métodos bem conhecidos são o método de invariância de impulso e o método de transformação Z correspondente . Conceitualmente, ambos são semelhantes à amostragem de uma forma de onda contínua com a qual estamos familiarizados. Denotando a transformação inversa de Laplace por e a transformação Z como , esses dois métodos envolvem o cálculo da resposta de impulso do filtro analógico comoL1Z

a(t)=L1{A(s)}

e amostragem em um intervalo de amostragem que seja alto o suficiente para evitar aliases. A função de transferência do filtro digital é então obtida a partir da sequência amostrada comoa(t)Ta[n]

Da(z)=Z{a[n]}

No entanto, existem diferenças importantes entre os dois.

Método de invariância de impulso:

Neste método, você expande a função de transferência analógica como frações parciais (não na transformação Z correspondente, como mencionado por Peter ), como

A(s)=mCmsαm

onde é uma constante e são os pólos. Matematicamente, qualquer função de transferência com um numerador de menor grau que o denominador pode ser expressa como uma soma de frações parciais . Somente filtros passa-baixo atendem a esse critério (passa-alto e passa-banda / batente de banda têm pelo menos o mesmo grau) e, portanto, o método invariante por impulso não pode ser usado para projetar outros filtros.Cmαm

A razão pela qual falha também é bastante clara. Se você tivesse um polinômio no numerador do mesmo grau que no denominador, terá um termo constante independente, que após a transformação inversa, fornecerá uma função delta que não pode ser amostrada.

Se você realizar as transformações inversas de Laplace e Z, verá que os polos serão transformados como que significa que, se o seu filtro analógico estiver estável, o filtro digital também estará estável . Por isso, preserva a estabilidade do filtro.αmeαmT

Transformação Z correspondente

Nesse método, em vez de dividir a resposta do impulso como frações parciais, você faz uma transformação simples dos pólos e dos zeros de maneira semelhante (correspondida) como e (também preservando a estabilidade), fornecendoβmeβmTαmeαmT

A(s)=m(sβm)n(sαn)m(1z1eβmT)n(1z1eαnT)

Você pode ver facilmente a limitação de ambos os métodos. A invariante de impulso é aplicável apenas se o seu filtro for passa-baixo e o método de transformação z correspondente for aplicável aos filtros de parada de banda e passa-banda (e passa-alto até a frequência de Nyquist). Na prática, eles também são limitados pela taxa de amostragem (afinal, você só pode ir até um certo ponto) e sofrem com os efeitos do alias.

A transformação bilinear é de longe o método mais utilizado na prática e os dois acima são mais para interesses acadêmicos. Quanto à conversão de volta para analógico, desculpe, mas não sei e não posso ajudar muito, pois quase nunca uso filtros analógicos.

Lorem Ipsum
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Uau Uau ..... estas são as melhores explicações que eu já vi sobre esse tópico. Muito obrigado por compartilhar. Belo trabalho.
combinado z transformar é melhor para filtros de Bessel porque a característica importante de filtros de Bessel é o seu atraso de grupo plana, não a sua resposta de freqüência
endolith
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Existem várias maneiras de fazer o mapeamento de para . A comunidade de controle tem algo a dizer sobre isso.sz

Alguns exemplos são:

A transformação Z combinada

Aqui, a função de transferência domain é escrita como uma expansão parcial de fração:s

Y(s)=a0s+s0+a1s+s1+...

E a conversão de cada parte da expansão da fração parcial é feita diretamente usando:

s+sn=1z1exp(snT)

Regra de Simpson

Uma interpretação da transformação bilinear é que é uma maneira de transformar de tempo contínuo para tempo discreto por integração aproximada usando a Regra Trapezoidal .

Uma técnica mais precisa para integração aproximada usa a regra de Simpson. Se essa aproximação for usada, o mapeamento resultante será:

s=3Tz21z2+4z+1
Peter K.
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Regra de Simpson, interpolação essencialmente quadrática (onde a regra trapezoidal é linear)?
Peter Mortensen
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@ Peter Mortensen: Sim, praticamente!
Peter K.
Sua transformação Z correspondente é diferente da de Lorem Ipsum? Não vejo decomposição parcial da fração em nenhum outro lugar.
Endolith
@ endolith veja o link da Wikipedia na minha resposta. Foi daí que eu consegui. 😂 Eu respondi antes do Lorem e não o editei.
Peter K.