Dizimar antes de calcular a autocorrelação, na presença de ruído, é inferior a calcular a autocorrelação usando o conjunto de dados completo. Suponha que o sinal de interesse esteja incorporado no ruído branco. O vector consiste em amostras de um processo aleatório discreto. A função de autocorrelação do vetor x [ n ] é:x[n],n=0,1,...,N−1x[n]
Ax[k]=1N−k∑i=0N−1−kx[i]x[i+k]
Ou seja, é o atraso usado para o cálculo da autocorrelação. Em seu cenário proposto, que está dizimando a saída função de autocorrelação por um fator D (ou seja, você só está calculando a função para defasagens 0 , D , 2 D , . . . ) E comparando esse resultado para a função de autocorrelação de x [ n ] dizimados pelo mesmo factor D . Seja x d [ n ] a sequência dizimada; sua função de autocorrelação é:kD0,D,2D,...x[n]Dxd[n]
Axd[k]=DN−k∑i=0N−1−kDx[iD]x[(i+k)D]
(por simplicidade aqui, assumi que é um fator de N na equação acima)DN
Sua pergunta pode ser escrita como:
Ax[kD]≈?Axd[k]
1N−kD∑i=0N−1−kDx [ i ] x [ i + k D ] ≈?DN- k∑i = 0N- 1 - kDx [ i D ] x [ ( i + k ) D ]
Olhando para isso qualitativamente, a soma no lado esquerdo tem mais termos do que sua contraparte no lado direito. Se é estacionário de segunda ordem, então o valor esperado de cada termo em cada soma é o mesmo; o ato de calcular a média de várias amostras com o mesmo valor esperado aumenta a relação sinal / ruído. De maneira um pouco diferente, você pode pensar nos termos de cada soma como amostras de um novo processo aleatório:x [ n ]
y[ n ] = x [ n ] x [ n + k D ]
x [ n ]y[ n ]k Dy[ n ]∞
Portanto, se houver ruído branco no sinal (o que geralmente ocorre), você obterá uma estimativa melhor das estatísticas de segunda ordem do sinal subjacente usando um tamanho de amostra maior no cálculo (isso pode parecer intuitivamente óbvio). No contexto de suas duas abordagens, isso é realizado usando o sinal completo e não dizimado no cálculo da autocorrelação e dizimando posteriormente (ou seja, apenas calculando o resultado para determinados valores de atraso).
Parece um pouco estranho para mim. O script Matlab abaixo compara a "autocorrelação reduzida para a amostra" com a "autocorrelação dos sinais para redução da amostra". Para ondas senoidais duplas, isso chega bem perto (erro relativo de -50dB), mas para ruído branco é simplesmente errado (erro relativo> +6 dB). Embora possa haver alguma vantagem computacional, não está claro para mim o quão útil as autocorrelações reduzidas são mesmo no caso de onda senoidal dupla. Os picos no espectro ainda aparecem no lugar errado.
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Para tipos específicos de entradas, o efeito do alias de frequência na magnitude das autocorrelações pode ser insignificante. No entanto, não acho que isso seja verdade em geral.
Por exemplo, para uma entrada ilimitada de banda ou para ruído branco, a subamostragem não afetará o formato da autocorrelação (embora possa alterar a escala de maneira preditiva). A autocorrelação do ruído branco é um delta e permanecerá um delta se a amostragem for reduzida.
Agora, o espectro de potência está relacionado à autocorrelação pela transformada de Fourier. Portanto, se sua afirmação for verdadeira, parece que você também pode afirmar que o alias de frequência não altera o conteúdo da frequência da entrada. E isso não é verdade. Mas pode haver exceções (casos especiais).
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