Dada uma resposta de frequência arbitrária, que métodos de processamento de sinal podem existir que possam adivinhar, estimar ou determinar uma função de transferência (pólo e constelação zero) que fornece uma aproximação "razoavelmente boa" (para alguns critérios de qualidade de estimativa) a essa resposta de frequência? Que meios existem para estimar o número de pólos e zeros necessários para uma dada função de transferência mais uma determinada permissão de erro de aproximação? Ou como determinar se essas restrições não podem ser atendidas, se possível?
Se a resposta de frequência fornecida foi realmente produzida por uma função de transferência conhecida, algum desses métodos convergirá para essa função de transferência original? E se a resposta de frequência fornecida estivesse sujeita a erros de medição (supostos gaussianos)?
Suponha que você trabalhe no plano Z com espectro amostrado, embora respostas contínuas no domínio também possam ser interessantes.
Adicionado: Os métodos de solução são diferentes se apenas a magnitude da resposta em frequência for fornecida (por exemplo, uma solução com qualquer resposta de fase é permitida)?
Adicionado: O último problema é o que mais me interessa, dada uma resposta de magnitude conhecida ao redor do círculo unitário, mas uma resposta de fase desconhecida / não medida, o sistema medido pode ser estimado e, em caso afirmativo, em que condições?
Respostas:
Uma abordagem seria usar o método de mínimos quadrados no domínio da frequência (FDLS) . Dado um conjunto de amostras (complexas) da resposta de frequência de um sistema em tempo discreto e uma ordem de filtro escolhida pelo projetista, o método FDLS usa a otimização linear de mínimos quadrados para resolver o conjunto de coeficientes (que são mapeados diretamente para conjuntos de polos) e zeros) para o sistema cuja resposta em frequência corresponde à resposta desejada com o erro quadrático total mínimo.
A resposta de frequência é, portanto:
Reorganize o acima para obter:
Essa técnica tem algumas vantagens:
Qualquer resposta de frequência complexa arbitrária (magnitude e fase) pode ser usada como modelo. Se você tiver apenas uma restrição de magnitude, poderá escolher uma resposta de fase, como fase linear.
A técnica é muito simples de implementar e é facilmente parametrizável com base na ordem do sistema desejada.
Você pode estender um pouco esse método para usar a otimização de mínimos quadrados ponderados, se necessário; isso permitiria especificar regiões da resposta em frequência cujo erro de aproximação é mais ponderado que outros. Isso permite que você controle com mais rigidez as áreas de faixa de passagem / faixa de faixa e, ao mesmo tempo, incline mais áreas de "não se importe".
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Meus colegas tiveram ótimos resultados com o ajuste de vetores :
Nós o usamos para conversão FIR para IIR.
Para aplicações menos exigentes, você pode usar apenas o ajuste de mínimos quadrados não lineares para um número fixo de pólos e zeros. Isso é implementado no Matlab como
invfreqs
einvfreqz
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Outra abordagem: plote a resposta de frequência e ajuste-a da melhor maneira possível. Isso poderia ser feito muito rapidamente para uma solução aproximada ou, em algum sentido elaborado de mínimos quadrados, para um melhor ajuste. GTH
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