Recentemente, caí na falácia , considerando o polo s = 1, pois há uma resposta infinita na frequência 1. No entanto, a resposta foi de apenas 1. Agora, você pode derivar a resposta de frequência, dados os polos?
Segundo, a teoria diz que um sistema é estável quando os polos estão no plano s esquerdo e, portanto, decaem no tempo. Mas espere. Não significa "pólo" a resposta infinita - o crescimento no tempo?
Finalmente, é a pergunta certa no DSP? IMO, D significa digital, enquanto o domínio s é analógico. Não encontro tags s-plane ou Laplace transform para rotular minha postagem.
atualizar Obrigado pelas respostas. Parece que eu entendi, exceto a coisa menor, mas fundamental - a relação dos polos (e zeros) com a frequência. Basicamente, por que os valores próprios (ou, como você chama o operador / variável ) estão relacionados à frequência? De alguma forma, deve estar relacionado ao crescimento exponencial e à transformação de Laplace. Entendo perfeitamente que os pólos são autovalores (especialmente para recorrências discretas). Mas, como isso está relacionado à frequência?
Respostas:
Eu acho que existem 3 perguntas na sua pergunta:
Q1: Posso derivar a resposta de frequência, considerando os polos de um sistema (linear invariante no tempo)?
Sim, você pode, até uma constante. Se , são os pólos da função de transferência, você pode escrever a função de transferência comos∞,i i=1,…,N,
Observe que é uma variável complexa , e a variável de frequência corresponde ao eixo imaginário do plano complexo . Agora precisamos obter a resposta de frequência da função de transferência. Para sistemas estáveis, isso pode ser feito simplesmente avaliando a função de transferência para . Então você substitui por em (1) e pronto. Observe, no entanto, que isso só é verdade para sistemas estáveis (ou seja, se a região de convergência de incluir o eixo ).s s=σ+jω ω s H(s) s = j ω s j ω H( S ) j ω
P2: Como um sistema estável pode ter postes?
Como você já sabe, para sistemas causais e estáveis, todos os pólos devem estar no semiplano esquerdo do plano complexo . De fato, o valor da função de transferência irá para o infinito no polo , mas a resposta de frequência será boa, porque se todos os polos estiverem no semiplano esquerdo, não haverá pólos no eixo (ou à direita). Se você observar no domínio do tempo, cada pólo (simples) terá uma contribuição de para a resposta de impulso do sistema. Se o polo estiver localizado no semi-plano esquerdo, isso significa que tem uma parte real negativa . entãos H( S ) s = s∞ j ω es∞t s∞= σ∞+ j ω∞ σ∞< 0
é uma função exponencialmente amortecida e não cresce, mas decai, porque .σ∞<0
Q3: Esta pergunta pertence aqui?
Outros membros da comunidade devem julgar se esta pergunta pertence a este lugar. Eu acho que sim. Obviamente, isso não está diretamente relacionado ao DSP puro, mas os engenheiros do DSP muitas vezes também precisam lidar com sinais e sistemas analógicos antes da conversão do AD, para que também saibam sobre a teoria contínua dos sistemas. Segundo, quase todas as pessoas com DSP (pelo menos aquelas com treinamento tradicional) tiveram bastante exposição a sinais gerais e à teoria de sistemas, incluindo sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto.
A propósito, para sistemas de tempo discreto, você obtém a transformação vez da transformação de Laplace, e sua variável complexa agora é chamada vez de . A variável que você mencionou é definida como e é usada principalmente na literatura de codificação. Por sua definição, denota um elemento de atraso, então significa "atraso" (não "digital").Z z s D D=z−1 D
Se você souber que o meio plano esquerdo do plano complexo mapeado para a região dentro do círculo unitário do plano complexo (ou seja ), e o eixo mapeia o círculo unitário , quase tudo o que você sabe sobre um dos dois domínios será facilmente transferido para o outro domínio.s z |z|<1 jω |z|=1
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Uma coisa que realmente me ajudou a entender pólos e zeros é visualizá-los como superfícies de amplitude. Várias dessas plotagens podem ser encontradas em A Filter Primer . Algumas notas:
Um exemplo simples é um integrador H (s) = 1 / s:
Em outras palavras, ele possui um ganho infinito no DC (a resposta de etapa de um integrador aumenta para sempre) e o ganho diminui à medida que a frequência aumenta:
Afastar o polo da origem, ao longo do eixo imaginário para a mão esquerda do plano S, torna o ganho a 0 Hz no eixo jw finito novamente e agora você tem um filtro passa-baixo:
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Não vou contar o mapeamento completo dos pólos (1) / zeros (0) para a resposta de frequência, mas acho que posso explicar a conexão entre frequência e resposta zero / infinita, por que você tem resposta infinita / zero em ou seja , o que e - j w tem a ver com z .e−jw=zzero/pole, e−jw z
A forma geral do sistema linear é que pode resolva em z-de como Y ( z ) = ( b 0 + b 1 z + b
No final, a série de produtos binomiais pode ser considerado como uma série de sistemas, onde a primeira saída é a entrada para outra.(1−z0z) ⋯ 11 - p0 0z
Eu gostaria de analisar o efeito de pólo único e zero. Vamos destacar o primeiro zero, considerando a função de transferência para que o restante de seja o sinal de entrada, Y ( z ) = ( 1 - z 0 z ) Χ ( z ) , que corresponde a alguns y n = b 0 x n + b 1 x n - 1 . Vamos dar b 0H( z) X( z) Y( z) = ( 1 - z0 0z) X ( z) , yn=b0xn+b1xn−1. para simplificar. Quero dizer que y n = x n + x n - 1 .b0=b1=1 yn=xn+xn−1
O que queremos determinar o efeito do sistema H (z) sobre o sinal harmônico. Ou seja, a entrada será o sinal de teste A resposta será y n = x n + x n
Observe que basicamente diz que a saída é a soma do sinal de entrada mais o sinal deslocado, uma vez que z único representa atraso de relógio único no domínio do tempo.1+z z
Agora, como explicado em , . O cosseno faz com que ele se comporte como um filtro passa-baixo { w = 0 ⇒H(jw)=1+e−jw=e−jw/2(ejw/2+e−jw/2)=e−jw/22cos(w/2)
Now, what about the poles? Let's single out a single polea . The system has a from of yn=ayn−1+(xn+xn−1+⋯) , under assumption y0=0 , has z-transform of Y(z) = X( z) / ( 1 - a z) .
O retornouma é equivalente a resposta de impulso infinito 1 , a , a2, … ↔z1 + a z+ a2z2+ ⋯ = 1 / ( 1 - a z) . Diz que a resposta é infinita quandoz= 1 / a . O que significa se aplicarmos o sinal de teste
Ou seja, zeros ou pólos da função de transferênciaH( z) happen to match the zeroes and poles of frequency response H(jw) , which is really amazing. I noticed that this is related to the relation between adjacent samples, ejwn/ejw(n−1)=ejw=1/zzero in case of zeroes. The fact that ejwn scales exponentially over time, along with the system with feedback a , also seems to be the key for matching between ejw and zpoles . It also seems important that you cannot simply look for the appropriate frequency of ejwn , the basis function must also have adjustable amplitude factor kn .
Ficaria feliz se alguém pudesse explicar o mesmo de forma mais condensada ou mais clara.
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